首先，必然要有$(a+ci)-(a+bi)+1<d$，因此$(c-b)ile d-2$，即$ile lfloorfrac{d-2}{c-b} floor$
此时，$[a+bi,a+ci]$中不存在$d$的倍数，当且仅当$lfloorfrac{a+bi-1}{d} floor=lfloorfrac{c+bi}{d} floor$，同时两者之差不大于2，因此可以通过求和来统计，即$n-sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{a+ci}{d} floor-lfloorfrac{a+bi-1}{d} floor$（其中$n=lfloorfrac{d-2}{c-b} floor$）
这两个式子是类似的，因此可以仅考虑$sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{a+ci}{d} floor$
将后者用1累加的形式来表示，即$sum_{i=1}^{n}sum_{1le jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor}1$
调换枚举顺序，令$n'=lfloorfrac{a+cn}{d} floor$，因此即$sum_{j=1}^{n'}sum_{1le ile n,jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor}1$
考虑$jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor$，改为用$j$来限制$i$，即$lceilfrac{jd-a}{c} ceil=lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floorle ile n$
同时注意到$a<d$且$jge 1$，即保证了$lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floorge 1$
再将后者1的累加展开，即$sum_{j=1}^{n'}n-lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floor+1=n'(n+1)-sum_{j=1}^{n'}lfloorfrac{(c-a-1)+jd}{c} floor$
因此，即记$f(n,a,c,d)=sum_{i=1}^{n}max(lfloorfrac{a+ci}{d} floor,0)$，则$f(n,a,c,d)=n'(n+1)-f(n',c-a-1,d,c)$
另外，$f(n,a,c,d)$还有以下变换来规范其形式，即：
1.若$age d$，$f(n,a,c,d)=f(n,a mod d,c,d)+lfloorfrac{a}{d} floor n$
2.若$a<0$，$f(n,a,c,d)=f(n,a+kd,c,d)-kn$（其中$k=lfloorfrac{-a+d-1}{d} floor$）
3.若$cge d$，$f(n,a,c,d)=f(n,a,c mod d,d)+lfloorfrac{c}{d} floor{n+1choose 2}$
4.若$c=0$，$f(n,a,c,d)=0$
注意到其关于$(c,d)$的变换形式与扩展欧几里得相同，因此复杂度为$o(log_{2}d)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 int t,a,b,c,d; 5 ll n;#include<bits/stdc++.h> 6 using namespace std; 7 #define ll long long 8 int t,a,b,c,d; 9 ll n; 10 ll f(ll n,int a,int c,int d){ 11 if (a>=d)return f(n,a%d,c,d)+(a/d)*n; 12 if (a<0){ 13 int k=(-a+d-1)/d; 14 return f(n,a+k*d,c,d)-k*n; 15 } 16 if (c>=d)return f(n,a,c%d,d)+(n+1)*n/2*(c/d); 17 if (!c)return 0; 18 ll nn=(a+c*n)/d; 19 return nn*(n+1)-f(nn,c-a-1,d,c); 20 } 21 int main(){ 22 scanf("%d",&t); 23 while (t--){ 24 scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d); 25 n=(d-2)/(c-b); 26 printf("%lld ",n-f(n,a,c,d)+f(n,a-1,b,d)); 27 } 28 } 29 ll f(ll n,int a,int c,int d){ 30 if (a>=d)return f(n,a%d,c,d)+(a/d)*n; 31 if (a<0){ 32 int k=(-a+d-1)/d; 33 return f(n,a+k*d,c,d)-k*n; 34 } 35 if (c>=d)return f(n,a,c%d,d)+(n+1)*n/2*(c/d); 36 if (!c)return 0; 37 ll nn=(a+c*n)/d; 38 return nn*(n+1)-f(nn,c-a-1,d,c); 39 } 40 int main(){ 41 scanf("%d",&t); 42 while (t--){ 43 scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d); 44 n=(d-2)/(c-b); 45 printf("%lld ",n-f(n,a,c,d)+f(n,a-1,b,d)); 46 } 47 }