[atARC111E]Simple Math 3

首先，必然要有$(a+ci)-(a+bi)+1<d$，因此$(c-b)ile d-2$，即$ile lfloorfrac{d-2}{c-b} floor$

此时，$[a+bi,a+ci]$中不存在$d$的倍数，当且仅当$lfloorfrac{a+bi-1}{d} floor=lfloorfrac{c+bi}{d} floor$，同时两者之差不大于2，因此可以通过求和来统计，即$n-sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{a+ci}{d} floor-lfloorfrac{a+bi-1}{d} floor$（其中$n=lfloorfrac{d-2}{c-b} floor$）

这两个式子是类似的，因此可以仅考虑$sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{a+ci}{d} floor$

将后者用1累加的形式来表示，即$sum_{i=1}^{n}sum_{1le jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor}1$

调换枚举顺序，令$n'=lfloorfrac{a+cn}{d} floor$，因此即$sum_{j=1}^{n'}sum_{1le ile n,jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor}1$

考虑$jle lfloorfrac{a+ci}{d} floor$，改为用$j$来限制$i$，即$lceilfrac{jd-a}{c} ceil=lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floorle ile n$

同时注意到$a<d$且$jge 1$，即保证了$lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floorge 1$

再将后者1的累加展开，即$sum_{j=1}^{n'}n-lfloorfrac{jd-a+c-1}{c} floor+1=n'(n+1)-sum_{j=1}^{n'}lfloorfrac{(c-a-1)+jd}{c} floor$

因此，即记$f(n,a,c,d)=sum_{i=1}^{n}max(lfloorfrac{a+ci}{d} floor,0)$，则$f(n,a,c,d)=n'(n+1)-f(n',c-a-1,d,c)$

另外，$f(n,a,c,d)$还有以下变换来规范其形式，即：

1.若$age d$，$f(n,a,c,d)=f(n,a mod d,c,d)+lfloorfrac{a}{d} floor n$

2.若$a<0$，$f(n,a,c,d)=f(n,a+kd,c,d)-kn$（其中$k=lfloorfrac{-a+d-1}{d} floor$）

3.若$cge d$，$f(n,a,c,d)=f(n,a,c mod d,d)+lfloorfrac{c}{d} floor{n+1choose 2}$

4.若$c=0$，$f(n,a,c,d)=0$

注意到其关于$(c,d)$的变换形式与扩展欧几里得相同，因此复杂度为$o(log_{2}d)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int t,a,b,c,d;
ll n;#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int t,a,b,c,d;
ll n;
ll f(ll n,int a,int c,int d){
    if (a>=d)return f(n,a%d,c,d)+(a/d)*n;
    if (a<0){
        int k=(-a+d-1)/d;
        return f(n,a+k*d,c,d)-k*n;
    }
    if (c>=d)return f(n,a,c%d,d)+(n+1)*n/2*(c/d);
    if (!c)return 0;
    ll nn=(a+c*n)/d;
    return nn*(n+1)-f(nn,c-a-1,d,c);
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        n=(d-2)/(c-b);
        printf("%lld
",n-f(n,a,c,d)+f(n,a-1,b,d));
    }
} 
ll f(ll n,int a,int c,int d){
    if (a>=d)return f(n,a%d,c,d)+(a/d)*n;
    if (a<0){
        int k=(-a+d-1)/d;
        return f(n,a+k*d,c,d)-k*n;
    }
    if (c>=d)return f(n,a,c%d,d)+(n+1)*n/2*(c/d);
    if (!c)return 0;
    ll nn=(a+c*n)/d;
    return nn*(n+1)-f(nn,c-a-1,d,c);
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        n=(d-2)/(c-b);
        printf("%lld
",n-f(n,a,c,d)+f(n,a-1,b,d));
    }
}