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  • [atAGC052D]Equal LIS

    令$f_{i}$表示以$i$为结尾的最长上升子序列,显然可以快速预处理

    令$L=max_{i=1}^{n}f_{i}$,当$L$为偶数,考虑如下构造——

    将所有$f_{i}le frac{L}{2}$的$a_{i}$选入第1个序列,其余位置选入第2个序列

    此时,来证明两个序列的最长上升子序列都是$frac{L}{2}$

    考虑这个长为$L$的最长上升子序列,其前$frac{L}{2}$个元素必然都在第1个序列中,后$frac{L}{2}$个元素必然都在第2个序列中,即两者最长上升子序列长度都大于等于$frac{L}{2}$

    另一方面,第1个序列中以$i$为结尾的最长上升序列小于等于$frac{L}{2}$,第2个序列中以$i$为起点的最长上升序列小于等于$frac{L}{2}$(由于$f_{i}>frac{L}{2}$,且两者之和小于等于$L$,即有此结论),也都小于等于$frac{L}{2}$

    (其中$i$为各自序列中任意元素)

    当$L$为奇数,假设$L=2k+1$,那么对于其中一个长为$L$的上升子序列,要存在一个元素$x$,其不在此序列中,且存在一个长为$k+1$的上升子序列包含其

    关于这件事情的必要性是显然的,同时其也是充分的,考虑如下构造——

    任选一个长为$L$的上升子序列,根据此性质,选择$x$并假设这个$k+1$的上升子序列为$p_{1},p_{2},...,p_{k+1}$

    将所有满足$forall 1le jle k+1,f_{i} e f_{p_{j}}$或$f_{i}=f_{x}$且$i e x$的$a_{i}$选入第1个序列,其余位置选入第2个序列

    在第1个序列中,考虑这个长为$L$的上升子序列,设其中第$i$个位置为$x$,即有$f_{x}=i$,恰好包含$[1,L]$中所有值,其中恰有$k$个值不能选($f_{i}=f_{x}$是可以选的),构成一个长为$k+1$的上升子序列

    在第2个序列中,$p_{i}$都被选入第2个序列,也构成一个长为$k+1$个上升子序列

    另一方面,对于一个长为$k$的上升子序列,每一个位置的$f_{x}$必然各不相同,而注意到两个序列中都至多含有$k+1$个不同的$f$,即不存在长为$k+2$的上升子序列

    关于判定,求出以每一个元素为起点和终点的最长上升子序列,即可求出强制包含某个元素的最长上升子序列,判定其是否大于等于$k+1$即可

    由此,即解决此问题,时间复杂度为$o(nlog n)$

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 #define N 200005
     4 #define L (k<<1)
     5 #define R (L+1)
     6 #define mid (l+r>>1)
     7 int t,n,ans,a[N],vis[N],f[N],g[N],mx[N<<2];
     8 void build(int k,int l,int r){
     9     mx[k]=0;
    10     if (l==r)return;
    11     build(L,l,mid);
    12     build(R,mid+1,r);
    13 }
    14 void update(int k,int l,int r,int x,int y){
    15     if (l==r){
    16         mx[k]=y;
    17         return;
    18     }
    19     if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y);
    20     else update(R,mid+1,r,x,y);
    21     mx[k]=max(mx[L],mx[R]);
    22 }
    23 int query(int k,int l,int r,int x,int y){
    24     if ((l>y)||(x>r))return 0;
    25     if ((x<=l)&&(r<=y))return mx[k];
    26     return max(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y));
    27 }
    28 int main(){
    29     scanf("%d",&t);
    30     while (t--){
    31         scanf("%d",&n);
    32         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    33         ans=0;
    34         build(1,1,n);
    35         for(int i=1;i<=n;i++){
    36             f[i]=query(1,1,n,1,a[i]-1)+1;
    37             update(1,1,n,a[i],f[i]);
    38             ans=max(ans,f[i]);
    39         }
    40         if (ans%2==0)printf("YES
    ");
    41         else{
    42             build(1,1,n);
    43             for(int i=n;i;i--){
    44                 g[i]=query(1,1,n,a[i]+1,n)+1;
    45                 update(1,1,n,a[i],g[i]);
    46             }
    47             bool flag=0;
    48             for(int i=n,j=ans;i;i--)
    49                 if (f[i]==j)j--;
    50                 else{
    51                     if (f[i]+g[i]-1>=ans/2+1){
    52                         printf("YES
    ");
    53                         flag=1;
    54                         break;
    55                     }
    56                 }
    57             if (!flag)printf("NO
    ");
    58         }
    59     }
    60 }
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    nginx failed (1113: No mapping for the Unicode character exists in the target multi-byte code page)
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/14692645.html
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