[loj6484]LJJ爱数书

先考虑没有区间，即对于长为$n$的序列${a_{1},a_{2},...,a_{n}}$（以下记$a_{0}=a_{n+1}=0$），求$F(a,k)$

问题即构造序列$b_{i}$，满足$forall 0le ile n,b_{i}equiv a_{i}-a_{i+1}(mod k)$且$sum_{i=0}^{n}b_{i}=0$，并最小化$frac{sum_{i=0}^{n}|b_{i}|}{2}$

最优的$b_{i}$满足$|b_{i}|<k$，否则不妨假设$b_{i}ge k$（$b_{i}le -k$类似），将其减小$k$，并将一个$b_{j}<0$增加$k$（总存在，否则不满足$sum_{i=0}^{n}b_{i}=0$），显然$frac{sum_{i=0}^{n}|b_{i}|}{2}$严格减小

又因为$b_{i}equiv a_{i}-a_{i+1}(mod k)$，显然其最后的取值仅有两种，不妨都先取较小的一种，再选择$-frac{sum_{i=0}^{n}b_{i}}{k}$个位置增加$k$（取另一种），显然贪心选择收益最高（即$b_{i}$最小）的位置即可

（特别的，当$a_{i}-a_{i+1}equiv 0(mod k)$，令较小的取值为0，另一种取值为$k$，显然不会取到）

下面，问题变为一个区间，我们来维护上面的过程——

更准确的来说，由于$a_{i}in [0,k)$，这个较小的取值即$egin{cases}a_{i}-a_{i+1}&(a_{i}le a_{i+1})\a_{i}-a_{i+1}-k&(a_{i}>a_{i+1})end{cases}$

求出区间中$S=-sum_{i=l-1}^{r}b_{i}$（其中$b_{l-1}$和$b_{r}$要特判），首先答案以$S$为基础上修改，其次要选择$frac{S}{k}$个位置

关于如何找到这个位置，来二分这个$b_{i}$最小，并对两类分别统计（同样特判$b_{l-1}$和$b_{r}$），用可持久化线段树维护，以及再求出区间和即可

（直接在可持久化线段树上二分似乎并不太行，因为有两段）

总复杂度为$o(qlog^{2}n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define ll long long
#define mid (l+r>>1)
#define pil pair<int,ll>
#define fi first
#define se second
pil f[N*60];
int V,n,m,q,x,y,z,a[N],b[N],rt1[N],rt2[N],ls[N*60],rs[N*60];
int New(int k){
    f[++V]=f[k];
    ls[V]=ls[k];
    rs[V]=rs[k];
    return V;
}
pil add(pil x,pil y){
    return make_pair(x.fi+y.fi,x.se+y.se);
}
pil dec(pil x,pil y){
    return make_pair(x.fi-y.fi,x.se-y.se);
}
void update(int &k,int l,int r,int x){
    k=New(k);
    f[k].fi++,f[k].se+=x;
    if (l==r)return;
    if (x<=mid)update(ls[k],l,mid,x);
    else update(rs[k],mid+1,r,x);
}
pil query(int k,int l,int r,int x,int y){
    if ((!k)||(l>y)||(x>r))return make_pair(0,0);
    if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
    return add(query(ls[k],l,mid,x,y),query(rs[k],mid+1,r,x,y));
}
pil calc(int x,int y,int l,int k){
    pil o1=dec(query(rt1[y-1],0,m,1,k-l),query(rt1[x-1],0,m,1,k-l));
    pil o2=dec(query(rt2[y-1],0,m,l,k-1),query(rt2[x-1],0,m,l,k-1));
    pil o=make_pair(o1.fi+o2.fi,1LL*k*o1.fi-o1.se+o2.se);
    if ((a[y])&&(a[y]<=k-l)){
        o.fi++;
        o.se+=k-a[y];
    }
    if (l<=a[x]){
        o.fi++;
        o.se+=a[x];
    }
    return o;
}
int main(){
    m=(1<<30)-1;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i+1];
    for(int i=1;i<n;i++){
        rt1[i]=rt1[i-1];
        if (b[i]>0)update(rt1[i],0,m,b[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        rt2[i]=rt2[i-1];
        if (b[i]<=0)update(rt2[i],0,m,-b[i]);
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        pil o1=dec(f[rt1[y-1]],f[rt1[x-1]]);
        pil o2=dec(f[rt2[y-1]],f[rt2[x-1]]);
        if (!a[y])o2.fi++;
        else{
            o1.fi++;
            o1.se+=a[y];
        }
        o2.fi++,o2.se+=a[x];
        ll ans=1LL*z*o1.fi-o1.se+o2.se;
        int l=1,r=z-1;
        while (l<r){
            int midd=(l+r+1>>1);
            if (calc(x,y,midd,z).fi>=ans/z)l=midd;
            else r=midd-1;
        }
        pil o=calc(x,y,l,z);
        o.se-=(o.fi-ans/z)*l,o.fi=ans/z;
        ans+=1LL*z*o.fi-2*o.se;
        printf("%lld
",ans/2);
    }
}