[gym102220I]Temperature Survey

（为了方便，以下记$a_{0}=0,a_{n+1}=n$​​，并将$n$​​加上1）

构造一个$n$行的网格图，从上到下第$i$行有$a_{i}$个格子，格子左对齐

记第$i$行第$j$个格子为$(i,j)$​，格子集合${(i,j)mid i_{1}le ile i_{2}$且$j_{1}le jle j_{2}}$为$([i_{1},i_{2}],[j_{1},j_{2}])$

此时，考虑一条从$(1,1)$​​到$(n,a_{n})$​​的路径（只能向下或向右），令$b_{i}$​​为路径中从第$i$​​行到第$i+1$​​行时的格子编号，不难发现这样的路径与合法的$b_{i}$​​一一对应，那么不妨统计路径数

关于路径数，显然可以dp解决，即令$f_{i,j}$表示从$(1,1)$到$(i,j)$的路经数，则$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j}$

使用分治优化dp转移，当分治到区间$[l,r]$​​​时，需要根据$f_{[l,r],a_{l-1}}$​​​的值求出$f_{r,(a_{l-1},a_{r}]}$​​​​​的值

具体的，分治过程如下——

1.令$mid=lfloorfrac{l+r}{2} floor$​​​​​，递归左区间$[l,mid]$​​​​​，根据$f_{[l,mid],a_{l-1}}$​​​​​的值求出$f_{mid,(a_{l-1},a_{mid}]}$​​​​​的值

2.根据$f_{(mid,r],a_{l-1}}$​​​​​​​和$f_{mid,(a_{l-1},a_{mid}]}$​​​​​​​的值，快速求出$f_{(mid,r],a_{mid}}$​​​​​​​​和$f_{r,(a_{l-1},a_{mid}]}$​​​​​的值

3.递归右区间$(mid,r]$​，根据$f_{(mid,r],a_{mid}}$​​的值求出$f_{r,(a_{mid},a_{r}])}$​的值

（其中，第二步显然可以写成卷积的形式，直接ntt即可）

边界条件：若$l>r$直接退出，若$l=r$令$f_{l,(a_{l-1},a_{r}]}=f_{l,a_{l-1}}$并退出

另外，有一些细节问题：

1.为了避免位置不合法，需要保证$a_{l-1}<a_{l}$，若不满足则不断增加$l$即可

2.关于$f$的存储，只需要用两个数组，分别存储当前每一行/列递归到最右边的一列/行的$f$值即可

总复杂度为$o(nlog^{2}n)$​​，可以通过​

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define mod 998244353
#define ll long long
#define vi vector<int>
vi v,vl,vu;
int t,n,fac[N<<1],inv[N<<1],rev[N<<3],a[N],f[N],ans[N];
int c(int n,int m){
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int qpow(int n,int m){
    int s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
        s=(ll)s*s%mod;
        m>>=1;
    }
    return ans;
}
void ntt(vi &a,int n,int p){
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=2;i<=(1<<n);i<<=1){
        int s=qpow(3,(mod-1)/i);
        if (p)s=qpow(s,mod-2);
        for(int j=0;j<(1<<n);j+=i)
            for(int k=0,ss=1;k<(i>>1);k++,ss=(ll)ss*s%mod){
                int x=a[j+k],y=(ll)a[j+k+(i>>1)]*ss%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;
                a[j+k+(i>>1)]=(x+mod-y)%mod;
            }
    }
    if (p){
        int s=qpow((1<<n),mod-2);
        for(int i=0;i<(1<<n);i++)a[i]=(ll)a[i]*s%mod;
    }
}
vi mul(vi a,vi b){
    int n=0,m=a.size()+b.size()-1;
    while ((1<<n)<m)n++;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+((i&1)*(1<<n)/2);
    while (a.size()<(1<<n))a.push_back(0);
    while (b.size()<(1<<n))b.push_back(0);
    ntt(a,n,0);
    ntt(b,n,0);
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,n,1);
    return a;
}
void calc(int l,int r){
    while ((l<=r)&&(a[l-1]==a[l]))l++;
    if (l>r)return;
    if (l==r){
        for(int i=a[l-1]+1;i<=a[r];i++)ans[i]=f[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r>>1);
    calc(l,mid);
    vl.clear(),vu.clear();
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)vl.push_back(f[i]);
    for(int i=a[l-1]+1;i<=a[mid];i++)vu.push_back(ans[i]);
    
    v.clear();
    for(int i=0;i<r-mid;i++)v.push_back(c(i+a[mid]-a[l-1]-1,i));
    v=mul(v,vl);
    for(int i=0;i<r-mid;i++)f[i+mid+1]=v[i];
    
    v.clear();
    for(int i=0;i<r-mid+a[mid]-a[l-1]-1;i++)v.push_back(fac[i]);
    for(int i=0;i<r-mid;i++)vl[i]=(ll)vl[i]*inv[r-mid-1-i]%mod;
    v=mul(v,vl);
    for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)ans[i+a[l-1]+1]=(ll)v[i+r-mid-1]*inv[i]%mod;
    
    v.clear();
    for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)v.push_back(c(i+r-mid-1,i));
    v=mul(v,vu);
    for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)ans[i+a[l-1]+1]=(ans[i+a[l-1]+1]+v[i])%mod;
    
    v.clear();
    for(int i=0;i<r-mid+a[mid]-a[l-1]-1;i++)v.push_back(fac[i]);
    for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)vu[i]=(ll)vu[i]*inv[a[mid]-a[l-1]-1-i]%mod;
    v=mul(v,vu);
    for(int i=0;i<r-mid;i++)f[i+mid+1]=(f[i+mid+1]+(ll)v[i+a[mid]-a[l-1]-1]*inv[i])%mod;
    calc(mid+1,r);
}
int main(){
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<(N<<1);i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<(N<<1);i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<(N<<1);i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        n++,a[n]=n;
        for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=ans[i]=0;
        f[1]=1;
        calc(1,n);
        printf("%d
",ans[n]);
    } 
    return 0;
}