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  • [luogu7736]路径交点

    对于两条路径,注意到每一个交点都会改变两者的上下关系,因此两条路径交点的奇偶性,仅取决于两者的起点和终点是否改变了上下关系(改变即为奇数)

    类似地,对于整个路径方案,令$p_{i}$为以第一层的$i$为起点的路径在第$K$层的终点,那么该方案的交点数的奇偶性,仅取决于$p_{i}$​逆序对数(与逆序对数的奇偶性相同)

    但注意到方案还有一个限制:不允许经过重复的点

    但事实上,当经过了重复的点,显然将之后的两部分交换,恰好会改变$p_{i}$​​逆序对数的奇偶性

    更准确的来说,考虑起点编号最小的两条有公共点的路径,将两者第一个公共点以后的部分交换,显然反过来另一条路径对应的也是原路径,即可以抵消

    由此,令$A_{i,j}$​表示起点为第一层的$i$​且终点为第$K$​层的$j$​,显然答案即为$A$​的行列式,可以$o(n^{3})$求出

    关于如何求$A$​,令$G_{i}$​为第$i$​层和第$i+1$​层之间的邻接矩阵(大小为$n_{i} imes n_{i+1}$​​)​​,显然$A=prod_{i=1}^{k-1}G_{i}$(其中乘法为矩阵乘法),可以$o(kn^{3})$求出​

    (单组数据)总复杂度为$o(kn^{3})$​​​,可以通过

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 #define N 205
     4 #define mod 998244353
     5 #define ll long long
     6 int t,K,x,y,ans,n[N],m[N],a[N][N][N],b[N][N],c[N][N];
     7 int read(){
     8     int x=0;
     9     char c=getchar();
    10     while ((c<'0')||(c>'9'))c=getchar();
    11     while ((c>='0')&&(c<='9')){
    12         x=x*10+c-'0';
    13         c=getchar();
    14     }
    15     return x;
    16 }
    17 int qpow(int n,int m){
    18     int s=n,ans=1;
    19     while (m){
    20         if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
    21         s=(ll)s*s%mod;
    22         m>>=1;
    23     }
    24     return ans;
    25 }
    26 int guess(int n){
    27     int ans=1;
    28     for(int i=1;i<=n;i++){
    29         int k=-1;
    30         for(int j=i;j<=n;j++)
    31             if (b[j][i]){
    32                 k=j;
    33                 break;
    34             }
    35         if (k<0)return 0;
    36         if (k!=i){
    37             ans=mod-ans;
    38             for(int j=i;j<=n;j++)swap(b[i][j],b[k][j]);
    39         }
    40         ans=(ll)ans*b[i][i]%mod;
    41         int s=qpow(b[i][i],mod-2);
    42         for(int j=i;j<=n;j++)b[i][j]=(ll)b[i][j]*s%mod;
    43         for(int j=i+1;j<=n;j++){
    44             int s=b[j][i];
    45             for(int k=i;k<=n;k++)b[j][k]=(b[j][k]-(ll)s*b[i][k]%mod+mod)%mod;
    46         }
    47     }
    48     return ans;
    49 }
    50 int main(){
    51     t=read();
    52     while (t--){
    53         K=read();
    54         for(int i=1;i<=K;i++)n[i]=read();
    55         for(int i=1;i<K;i++)m[i]=read();
    56         memset(a,0,sizeof(a));
    57         for(int i=1;i<K;i++)
    58             for(int j=1;j<=m[i];j++){
    59                 x=read(),y=read();
    60                 a[i][x][y]=1;
    61             }
    62         memset(b,0,sizeof(b));
    63         for(int i=1;i<=n[1];i++)b[i][i]=1;
    64         for(int t=1;t<K;t++){
    65             memset(c,0,sizeof(c));
    66             for(int i=1;i<=n[1];i++)
    67                 for(int j=1;j<=n[t];j++)
    68                     for(int k=1;k<=n[t+1];k++)c[i][k]=(c[i][k]+(ll)b[i][j]*a[t][j][k])%mod;
    69             memcpy(b,c,sizeof(b));
    70         }
    71         printf("%d
    ",guess(n[1]));
    72     }
    73     return 0;
    74 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15067696.html
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