边分治模板题
（第一次写边分治就记一下吧）
对式子变形，即为$frac{dep_{x}+dep_{y}+dis(x,y)}{2}-dep'_{lca'(x,y)}$
通过增加节点使每一个点的度数都不超过3，不难证明此时总存在一条边，假设其将其删除后两连通块大小分别为$x$和$y$，则有$yle 2x+1$且$xle 2y+1$
由此，每次找到一条满足此条件的边并拆分，显然层数为$o(log n)$，每一层将（到对应连通块根的）距离加入深度并在第二课树上建立虚树，然后lca为某点的最大新深度和即可
时间复杂度为$o(nlog^{2}n)$，可以通过
当然如果将虚树（排序和求lca）做到线性，复杂度即可做到$o(nlog n)$，但意义不大
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 400005 4 #define ll long long 5 #define vi vector<int> 6 #define fi first 7 #define se second 8 struct Edge{ 9 int nex,to,len; 10 }; 11 int n; 12 ll ans,val[N]; 13 ll calc(vi x,vi y); 14 namespace T1{ 15 int m,E,rt,x,y,z,head[N<<1],sz[N<<1],vis[N<<1]; 16 ll dep[N<<1]; 17 vi v,vx,vy; 18 vector<pair<int,int> >e[N<<1]; 19 Edge edge[N<<2]; 20 void add(int x,int y,int z){ 21 edge[E]=Edge{head[x],y,z}; 22 head[x]=E++; 23 } 24 void dfs(int k,int fa,ll s){ 25 dep[k]=s; 26 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 27 if (edge[i].to!=fa)dfs(edge[i].to,k,s+edge[i].len); 28 v.clear(); 29 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 30 if (edge[i].to!=fa)v.push_back(edge[i].to); 31 int lst=k; 32 for(int i=0;i+2<v.size();i++){ 33 e[lst].push_back(make_pair(v[i],dep[v[i]]-dep[k])); 34 e[lst].push_back(make_pair(++m,0)); 35 lst=m; 36 } 37 if (v.size()){ 38 e[lst].push_back(make_pair(v.back(),dep[v.back()]-dep[k])); 39 v.pop_back(); 40 if (v.size())e[lst].push_back(make_pair(v.back(),dep[v.back()]-dep[k])); 41 } 42 } 43 void build(){ 44 m=n; 45 memset(head,-1,sizeof(head)); 46 for(int i=1;i<n;i++){ 47 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 48 add(x,y,z),add(y,x,z); 49 } 50 dfs(1,0,0); 51 E=0; 52 memset(head,-1,sizeof(head)); 53 for(int i=1;i<=m;i++)assert(e[i].size()<=2); 54 for(int i=1;i<=m;i++) 55 for(int j=0;j<e[i].size();j++){ 56 add(i,e[i][j].fi,e[i][j].se); 57 add(e[i][j].fi,i,e[i][j].se); 58 } 59 } 60 void get_sz(int k,int fa){ 61 sz[k]=1; 62 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 63 if ((!vis[i>>1])&&(edge[i].to!=fa)){ 64 get_sz(edge[i].to,k); 65 sz[k]+=sz[edge[i].to]; 66 } 67 } 68 void get_rt(int k,int fa,int s){ 69 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 70 if ((!vis[i>>1])&&(edge[i].to!=fa)){ 71 get_rt(edge[i].to,k,s); 72 if ((s<=3*sz[edge[i].to]+1)&&(3*sz[edge[i].to]<=(s+1<<1)))rt=(i>>1); 73 } 74 } 75 void get_v(vi &v,int k,int fa,ll s){ 76 if (k<=n){ 77 val[k]=s+dep[k]; 78 v.push_back(k); 79 } 80 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 81 if ((!vis[i>>1])&&(edge[i].to!=fa))get_v(v,edge[i].to,k,s+edge[i].len); 82 } 83 void divide(int k){ 84 get_sz(k,0); 85 if (sz[k]==1)return; 86 get_rt(k,0,sz[k]); 87 k=rt,vis[k]=1; 88 vx.clear(),vy.clear(); 89 get_v(vx,edge[k<<1].to,0,0); 90 get_v(vy,edge[(k<<1)|1].to,0,0); 91 ans=max(ans,calc(vx,vy)+edge[k<<1].len); 92 divide(edge[k<<1].to); 93 divide(edge[(k<<1)|1].to); 94 } 95 }; 96 namespace T2{ 97 int E,x,y,z,head[N],dfn[N],sh[N],f[N][20],st[N]; 98 ll ans,dep[N],mx[N][2]; 99 vi v0,v,e[N]; 100 Edge edge[N<<1]; 101 bool cmp(int x,int y){ 102 return dfn[x]<dfn[y]; 103 } 104 void add(int x,int y,int z){ 105 edge[E]=Edge{head[x],y,z}; 106 head[x]=E++; 107 } 108 int lca(int x,int y){ 109 if (sh[x]<sh[y])swap(x,y); 110 for(int i=19;i>=0;i--) 111 if (sh[f[x][i]]>=sh[y])x=f[x][i]; 112 if (x==y)return x; 113 for(int i=19;i>=0;i--) 114 if (f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i]; 115 return f[x][0]; 116 } 117 void dfs(int k,int fa,int s1,ll s2){ 118 dfn[k]=++dfn[0],sh[k]=s1,dep[k]=s2; 119 f[k][0]=fa; 120 for(int i=1;i<20;i++)f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1]; 121 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 122 if (edge[i].to!=fa)dfs(edge[i].to,k,s1+1,s2+edge[i].len); 123 } 124 void build(){ 125 memset(head,-1,sizeof(head)); 126 for(int i=1;i<n;i++){ 127 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 128 add(x,y,z),add(y,x,z); 129 } 130 dfs(1,1,0,0); 131 } 132 void build(vi v0){ 133 bool flag=0; 134 for(int i=0;i<v0.size();i++) 135 if (v0[i]==1)flag=1; 136 if (!flag){ 137 v0.push_back(1); 138 v.push_back(1); 139 } 140 sort(v0.begin(),v0.end(),cmp); 141 st[0]=st[1]=1; 142 for(int i=1;i<v0.size();i++){ 143 int k=lca(v0[i],st[st[0]]); 144 while ((st[0]>1)&&(dfn[st[st[0]-1]]>=dfn[k])){ 145 e[st[st[0]-1]].push_back(st[st[0]]); 146 st[0]--; 147 } 148 if (k!=st[st[0]]){ 149 v.push_back(k); 150 e[k].push_back(st[st[0]]); 151 st[st[0]]=k; 152 } 153 st[++st[0]]=v0[i]; 154 } 155 while (st[0]>1){ 156 e[st[st[0]-1]].push_back(st[st[0]]); 157 st[0]--; 158 } 159 } 160 void dfs(int k){ 161 for(int i=0;i<e[k].size();i++){ 162 dfs(e[k][i]); 163 ans=max(ans,max(mx[k][0]+mx[e[k][i]][1],mx[k][1]+mx[e[k][i]][0])-(dep[k]<<1)); 164 mx[k][0]=max(mx[k][0],mx[e[k][i]][0]); 165 mx[k][1]=max(mx[k][1],mx[e[k][i]][1]); 166 } 167 } 168 ll calc(vi vx,vi vy){ 169 ans=-1e18,v0.clear(); 170 for(int i=0;i<vx.size();i++)v0.push_back(vx[i]); 171 for(int i=0;i<vy.size();i++)v0.push_back(vy[i]); 172 v=v0,build(v0); 173 for(int i=0;i<v.size();i++)mx[v[i]][0]=mx[v[i]][1]=-1e18; 174 for(int i=0;i<vx.size();i++)mx[vx[i]][0]=val[vx[i]]; 175 for(int i=0;i<vy.size();i++)mx[vy[i]][1]=val[vy[i]]; 176 dfs(1); 177 for(int i=0;i<v.size();i++)e[v[i]].clear(); 178 return ans; 179 } 180 }; 181 ll calc(vi x,vi y){ 182 return T2::calc(x,y); 183 } 184 int main(){ 185 scanf("%d",&n); 186 T1::build(); 187 T2::build(); 188 for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,(T1::dep[i]-T2::dep[i])<<1); 189 T1::divide(1); 190 printf("%lld ",(ans>>1)); 191 return 0; 192 }
实际上，点分治也是可以做的
相比于边分治，点分治即要维护多棵子树中选两个不同的子树（而不是两个），那么仍暴力维护复杂度即退化为$o(n^{2}log n)$，显然无法通过
考虑不断选择两棵最小的子树，并对这两棵子树内的点建虚树后求答案，求完后将两棵子树合并为一棵子树（注意这棵子树之后也可以参与合并）
关于复杂度，理性分析可以得到仍是$o(nlog^{2}n)$的（不优化虚树），感性理解一下即考虑合并过程的逆过程，不难发现与边分治等价，因此与边分治复杂度相同