[atAGC017D]Game on Tree

将其1为根建树，操作显然即去掉一棵子树（非本身）

考虑sg函数，定义$sg(T)$为有根树$T$的sg值，则有以下结论——

结论：令$T'$为$T$的根节点新增一个父亲得到的树，则$sg(T')=sg(T)+1$

假设去掉$T$任意一棵子树（非本身）后会得到$T_{1},T_{2},...,T_{k}$，$T'_{i}$为$T_{i}$的根节点新增一个父亲得到的树，那么$T'$去掉任意一棵子树（非本身）后即会得到$T'_{1},T'_{2},...,T'_{k}$和"一个节点"的树

显然"一个节点"的树的$sg$值为0，因此$sg(T')=mex(\{sg(T'_{i}),0\})$

考虑归纳，并代入$sg(T'_{i})=sg(T_{i})+1$，不难得到$sg(T')=sg(T)+1$，即得证

进一步的，考虑$T$根节点儿子的子树依次为$T_{1},T_{2},...,T_{k}$，显然对$T_{i}$再加上$T$根节点即是一个独立的问题，结合sg函数的性质和结论，也即$sg(T)=\bigoplus_{i=1}^{k}(sg(T_{i})+1)$，再树形dp即可

时间复杂度为$o(n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
vector<int>v[N];
int n,x,y,sg[N];
void dfs(int k,int fa){
    for(int i=0;i<v[k].size();i++)
        if (v[k][i]!=fa){
            dfs(v[k][i],k);
            sg[k]^=sg[v[k][i]]+1;
        }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    if (sg[1])printf("Alice\n");
    else printf("Bob\n");
    return 0;
}