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分块
分块查找是折半查找和顺序查找的一种改进方法，分块查找由于只要求索引表是有序的，对块内节点没有排序要求，因此特别适合于节点动态变化的情况。
分块其实可以说是一种偏数据结构类的通用型算法吧，没有很艰深的内容，与暴力最为相似，但是在很多题目中都能派上很好的用场。
我们可以先通过一道模板例题来了解分块。
Description
给出一个长为(n)的数列，以及(n)个操作，操作涉及区间加法，单点查值。
Solution
这道题当然可以用树状数组，线段树等经典的数据结构来解决，我们现在来谈一谈分块的做法。
分块就是讲原本序列中的n个数"打包"分为(sqrt(n))个块，对于区间的操作，我们可以对每一个块进行标记处理，等到查询时再检查是否有更新记录，利用类似于这样的思想来优化时间复杂度。
具体的，我们可以这样做。
1.使(t=sqrt(n))，将原序列分为(t)个块，其中，第(i)个块的覆盖范围为([(i-1)*t+1,i*t])
2.对于最后剩下不完全的部分，额外的分一个块，其范围为([n-lfloor{frac{n}{t}} floor*t+1,n])
3.预处理一个数组(pos[i])，代表第(i)个元素所在块的下标
4.对于区间加法操作，区间包含的部分一定为若干个完整的块(可能(0)个)和至多两个不完整的块，对于不完整的块，我们可以暴力扫描进行加法更新，对于完整的块(i)，我们可以令(changed[i]+=delta)，表示第i个块有一个整体的(+delta)更新操作，先记录下来。
5.对于查询操作，我们可以直接返回(a[x]+change[pos[x]])。
这就是分块算法的基本流程，引用(lyd)大佬一句话来形容，就是大段维护，局部朴素，可以认为是暴力的优化，具有较好的直观性，代码量不长，容易拓展。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],a[N];
inline void input(void)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void init(void)
{
t=sqrt(n);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
R[i]=i*sqrt(n);
}
if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
for(int i=1;i<=t;i++)
for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
pos[j]=i;
}
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
if(p==q)
for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta;
else
{
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
changed[i]+=delta;
for(int i=l;i<=R[p];i++)
a[i]+=delta;
for(int i=L[q];i<=r;i++)
a[i]+=delta;
}
}
inline long long ask(int x)
{
return a[x]+changed[pos[x]];
}
inline void solve(void)
{
int index,l,r;long long delta;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
if(!index)
change(l,r,delta);
else printf("%lld
",ask(r));
}
}
int main(void)
{
input();
init();
solve();
return 0;
}
Description
给出一个长为(n)的数列，以及(n)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值(x)的元素个数。
Solution
这道题就是分块算法的简单拓展，对原来算法进行简单的改进就可以解决该问题。
除了增量标记外，每一个块我们额外维护一个有序序列。用(vector)储存每一个块的有序序列并直接利用(sort)排序即可。
对于区间加法，整块的部分直接累加增量标记，非整块的部分暴力修改单点权值，并对部分修改的块重置有序序列即可。
对于查询，整块的部分直接二分查找有序序列中大小第一个大于等于(c*c-change[i])的部分，数量即为该位置减掉数组首地址，累加每一个整块的数量即可，非整块的部分暴力统计即可累加答案。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50000+200,M=50000+200,sqrtN=300;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
int changed[sqrtN],a[N];
vector < int > section[sqrtN];
inline void input(void)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
}
inline void reset(int x)
{
section[x].clear();
for(int i=L[x];i<=R[x];i++)
section[x].push_back(a[i]);
sort(section[x].begin(),section[x].end());
}
inline void init(void)
{
t=sqrt(n);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
R[i]=i*sqrt(n);
}
if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
for(int i=1;i<=t;i++)
for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
pos[j]=i;
for(int i=1;i<=t;i++)
reset(i);
}
inline void change(int l,int r,int delta)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)
a[i]+=delta;
reset(p);
}
else
{
for(int i=l;i<=R[p];i++)
a[i]+=delta;
reset(p);
for(int i=L[q];i<=r;i++)
a[i]+=delta;
reset(q);
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
changed[i]+=delta;
}
}
inline int ask(int l,int r,int limit)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
int ans=0;
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)
if(a[i]+changed[p]<limit)ans++;
}
else
{
for(int i=l;i<=R[p];i++)
if(a[i]+changed[p]<limit)ans++;
for(int i=L[q];i<=r;i++)
if(a[i]+changed[q]<limit)ans++;
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
ans+=lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin();
}
return ans;
}
inline void solve(void)
{
int l,r,index;int delta;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&index,&l,&r,&delta);
if(!index)
change(l,r,delta);
else printf("%d
",ask(l,r,delta*delta));
}
}
int main(void)
{
input();
init();
solve();
return 0;
}
Description
给出一个长为(n)的数列，以及(n)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值(x)的前驱（比其小的最大元素）。
Solution
这道题其实和第二题类似，也是维护每一个块的区间有序性，前驱直接二分查找即可。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,sqrtN=400;
const long long INF=LONG_LONG_MAX;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],a[N];
vector < long long > section[sqrtN];
inline void input(void)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void reset(int x)
{
section[x].clear();
for(int i=L[x];i<=R[x];i++)
section[pos[i]].push_back(a[i]);
sort(section[x].begin(),section[x].end());
}
inline void init(void)
{
t=sqrt(n);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
R[i]=i*sqrt(n);
}
if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
for(int i=1;i<=t;i++)
for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
pos[j]=i;
for(int i=1;i<=t;i++)
reset(i);
}
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)
a[i]+=delta;
reset(p);
}
else
{
for(int i=l;i<=R[p];i++)
a[i]+=delta;
reset(p);
for(int i=L[q];i<=r;i++)
a[i]+=delta;
reset(q);
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
changed[i]+=delta;
}
}
inline void updata(long long &ans,long long val,long long limit)
{
if(val<limit&&val>ans)ans=val;
}
inline long long ask(int l,int r,long long limit)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
long long ans=-1;
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)
updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
}
else
{
for(int i=l;i<=R[p];i++)
updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
for(int i=L[q];i<=r;i++)
updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
updata(ans,section[i][lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin()-1]+changed[i],limit);
}
return ans;
}
inline void solve(void)
{
int l,r,index;long long delta;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
if(!index)
change(l,r,delta);
else printf("%lld
",ask(l,r,delta));
}
}
int main(void)
{
input();
init();
solve();
return 0;
}
Description
给出一个长为(n)的数列，以及(n)个操作，操作涉及区间加法，区间求和。
Solution
这道题的拓展也是比较典型的。我们只需要再维护每一块的权值和就可以快速的解决查询问题，对于权值和的更新，只需要对每一次加法操作是进行顺带更新即可。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],sum[sqrtN],a[N];
inline void input(void)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void init(void)
{
t=sqrt(n);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
R[i]=i*sqrt(n);
}
if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
for(int i=1;i<=t;i++)
for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
pos[j]=i,sum[i]+=a[j];
}
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta;
sum[p]+=delta*(r-l+1);
}
else
{
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
changed[i]+=delta;
for(int i=l;i<=R[p];i++)
a[i]+=delta;
sum[p]+=delta*(R[p]-l+1);
for(int i=L[q];i<=r;i++)
a[i]+=delta;
sum[q]+=delta*(r-L[q]+1);
}
}
inline long long ask(int l,int r,long long mod)
{
int p=pos[l],q=pos[r];
long long ans=0;
if(p==q)
{
for(int i=l;i<=r;i++)ans+=a[i];
ans+=changed[p]*(r-l+1);
ans%=mod;
}
else
{
for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
ans+=sum[i]+changed[i]*(R[i]-L[i]+1),ans%=mod;
for(int i=l;i<=R[p];i++)
ans+=a[i],ans%=mod;
ans+=changed[p]*(R[p]-l+1),ans%=mod;
for(int i=L[q];i<=r;i++)
ans+=a[i],ans%=mod;
ans+=changed[q]*(r-L[q]+1),ans%=mod;
}
return ans;
}
inline void solve(void)
{
int l,r,index;long long delta;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
if(!index)
change(l,r,delta);
else printf("%lld
",ask(l,r,delta+1)%(delta+1));
}
}
int main(void)
{
input();
init();
solve();
return 0;
}
总结
分块算法可以说是一种优雅的暴力优化，在处理区间问题上有很大的帮助，通过对几道例题的认识，我们可以归纳得到如下要点：
- 是否可以用分块算法？区间问题，具有整体维护的可行性
- 使用分块算法需要考虑的问题？1.如何预处理 2.如何处理不完整的块 3.如何维护完整的块
<后记>