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    <更新提示>

    <第一次更新>


    <正文>

    sumdiv(POJ 1845)

    Description

    给定两个自然数A和B,S为A^B的所有正整数约数和,编程输出S mod 9901的结果。

    Input Format

    只有一行,两个用空格隔开的自然数A和B(0<=A,B<= 50000000)。

    Output Format

    只有一行,即S mod 9901的结果。

    Sample Input

    2 3
    

    Sample Output

    15
    

    解析

    这是一道数学推导+分治的简单运用,大体思路如下。

    由算数基本定理可得:

    [A=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}=prod_{i=1}^kp_i^{a_i} ]

    那么

    [A=p_1^{a_1B}*p_2^{a_2B}*...*p_k^{a_kB}=prod_{i=1}^kp_i^{a_iB} ]

    易知(A^B)的约数之和就是:

    [ans=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1B})*...*(1+p_k+p_k^2+...+p_k^{a_kB})\=prod_{i=1}^{k}(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{a_iB})\=prod_{i=1}^{k}sum_{j=0}^{a_iB}p_i^j ]

    分解质因数我们是可以简单做到的,由于涉及到取模,在不用逆元的情况下,我们不能直接用等比数列求和公式。

    所以我们的问题就转化成了等比数列求和,这是可以利用分治在(log)时间内实现的(不涉及除法)。

    对于求解(sum(p,c)=1+p+...+p^c),可以分解一下:

    • 对于c为奇数

    [sum(p,c)=1+p+...+p^c \=(1+p+...+p^{frac{c-1}{2}})+p^{frac{c+1}{2}}*(1+p+...+p^{frac{c-1}{2}}) \=(1+p^{frac{c+1}{2}})*sum(p,frac{c-1}{2}) ]

    • 对于c为偶数

    [sum(p,c)=1+p+...+p^c \=(1+p+...+p^{frac{c}{2}-1})+p^{frac{c}{2}}*(1+p+...+p^{frac{c}{2}-1})+p^c \=(1+p^{frac{c}{2}})*sum(p,frac{c}{2}-1)+p^c ]

    再代回约数和公式,直接利用递归来做分治即可。

    (Code:)

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int Mod=9901;
    long long A,B,p[50],k[50],n,ans=1;
    inline void input(void)
    {
    	scanf("%lld%lld",&A,&B);
    }
    inline void decompose(void)
    {
    	long long temp=A;
    	for(int i=2;i<=temp;i++)
    	{
    		if((temp%i)==0)
    		{
    			n++;
    			p[n]=i;k[n]++;
    			temp/=i;
    			while((temp%i)==0)
    			{
    				k[n]++;
    				temp/=i;
    			}
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		k[i]*=B;
    }
    inline long long power(long long a,long long b)
    {
    	long long res=1;
    	for(;b;b>>=1)
    	{
    		if(1&b)res=res*a%Mod;
    		a=a*a%Mod; 
    	}
    	return res;
    }
    inline long long sum(long long x,long long y)
    {
    	if(y==1)return x+1;
    	if(y==0)return 1;
    	if(y%2==1)
    		return ((1+power(x,(y+1)/2))%Mod*sum(x,(y-1)/2)%Mod)%Mod;
    	else return ((1+power(x,y/2))%Mod*sum(x,y/2-1)%Mod+power(x,y)%Mod)%Mod;
    }
    inline void solve(void)
    {
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		ans*=sum(p[i],k[i])%Mod;
    		ans%=Mod;
    	}
    }
    int main(void)
    {
    	input();
    	decompose();
    	solve();
    	printf("%lld
    ",ans%Mod);
    }
    

    <后记>

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