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余数之和
Description
给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值
其中k mod i表示k除以i的余数。
例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
Input Format
输入仅一行，包含两个整数n, k。
1<=n ,k<=10^9
Output Format
输出仅一行，即j(n, k)。
Sample Input
5 3
Sample Output
7
解析
注意到(k\% i=k-lfloor frac{k}{i} floor*i)，故$$sum_{i=1}^n k%i=nk-sum_{i=1}^nlfloor frac{k}{i} floori$$
那么问题即求(sum_{i=1}^nlfloor frac{k}{i} floor*i)。
引理：对于(iin left [x, left lfloor frac{k}{ lfloor frac{k}x{} floor } ight floor ight ])，(lfloor frac{k}{i} floor)的值都相等，其证明如下：
设(f(x)= left lfloor frac{k}{ lfloor frac{k}{x} floor } ight floor)，显然有(f(x)geq left lfloor frac{k}{ ( frac{k}{x} ) } ight floor=x)，则可得(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floorleq left lfloor frac{k}{x} ight floor)。
从另一方面考虑，则有(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floorgeqleft lfloor frac{k}{ frac{k}{left lfloor k/x ight floor } } ight floor=lfloor frac{k}{x} floor)，则可得(left lfloor frac{k}{f(x)} ight floor=left lfloor frac{k}{x} ight floor)。
这样，每一次累加(left [x, left lfloor frac{k}{ lfloor frac{k}x{} floor } ight floor ight ])所对应的值即可，可以证明这样的段不超过(2sqrt k)个，我们称这种优化算法为整除分块。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,ans;
inline void input(void)
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
}
inline void solve(void)
{
ans=n*k;
for (long long l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r = k/l ? min(k/(k/l),n) : n;
ans -= (k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
}
}
int main(void)
{
input();
solve();
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
<后记>