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概率与期望
总结
老师上午几乎是在讲数学课，没有讲什么和(OI)有关的题目，所以我就做了一点笔记。
到了下午，老师讲完了有关知识点和经典模型，就开始讲例题了。前两道例题是以前就做过的，所以没有什么问题。后几道例题难度就有所提升了，老师共计讲了(10)到例题，有关笔记基本上都记了 ，但是区间翻转，排序两题笔记有点缺漏，导致听挂了，还有Deep Dark Forest和凸包两题可能在细节上还有一点问题。
有关解题策略，还可以看大佬的博客。
知识点
大概的内容就是有关期望和概率的基础概念，重要公式和若干经典问题的解答，以及一些技巧和运用的方法，重要的几个内容如下：
(1.) $$sum_{i=0}^nx^i=frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
就是等比数列求和公式，只需将等式两边同乘分母化简即可证明。(2.) $$lim_{n->infty}sum_{i=0}^nx^i=frac{1}{1-x} ag{0<x<1}$$
利用极限思想即可得到。(3.) $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$
期望的线性性，对于任意随机变量(X,Y)成立，可以利用定义直接证明。(4.) $$P(X=k)=P(Xleq k)-P(X
leq k-1)P(X=k)=P(Xgeq k) -P(Xgeq k+1)$$
概率的前缀和，后缀和转换，可以用于推导化简。(5.) 发生概率为(p)的事件期望在(frac{1}{p})次后发生。
证明：设随机变量(X)代表直到该事件发生时的次数，则有：[E(X)=sum_{i}P(X=i)*i\=sum_{i} left ( P(Xgeq i)-P(Xgeq i+1) ight )*i\=sum_{i=1}^{infty}((1-p)^{i-1}-(1-p)^{i})*i\=sum_{i=0}^{infty}(1-p)^i=frac{1}{p} ](6.) $$E(X)=sum_{i=1}^{infty}P(Xgeq i)$$
对于离散变量(X)，可以证明如下：$$E(X)=sum_{i=1}^{infty}P(X=i)i=sum_{i=1}^{infty}(P(Xgeq i)-P(Xgeq i+1))i=sum_{i=1}^{infty}P(Xgeq i)$$
例题
例题感觉难度还是有的，也比较切合今天的知识点。但是老师讲的速度比较快，可能对题目理解还不是很透彻。在讲课时，做笔记还是很必要的，并且一定要跟上老师讲课的节奏，以防走神，如果有哪到题的笔记有问题，就先跳过，听懂当前的题，把问题留下来再解决。
以下是例题的简要题解：
(1.) 换教室：预处理两两教室之间的最短距离，考虑每一个教师是否申请，进行线性(dp)计算最小期望即可。
(2.) (Deep Dark Forest)：利用公式(6)将期望转化为不等式概率求和的形式。然后枚举直径长度限制(k)，用树形(dp)求概率即可。(状态：(f[x][l])代表以(x)为根的子树中，最长链长度为(l)的概率)
(3.) 球染色：设(f[i])代表当前有(i)个颜色为(x)的点，可以计算当前状态选取数对产生(1)，(0)，(-1)贡献的概率，化简方程线性递推即可。
(4.) 区间翻转：利用期望线性性转换，即求最后第(i)个点的取值期望。设(f[j][0/1])代表第(j)次操作后，第(i)个位置为(0/1)的概率，设(p_i)代表随机一个区间，包含点(i)的概率。利用(p_i)来(dp)即可，需要矩阵乘法加速递推。
(5.) 凸包：先利用期望的线性性进行转换，同时利用点边转换(凸包上的点数等于凸包上的边数)，即求边((i,j))在凸包上的概率，同时也是期望，可以根据凸包边的性质来统计。
(6.) 单选错位：先利用期望的线性性进行转换，即求每一个位置的数抄错后正确的期望，发现可以直接表示。
(7.) (kill)：先将题目等效转换，对每一个人一一处理，只选没死的人进行开枪操作。设(f[i][j])代表还剩(i)个人，前面有(j)个人开了枪的概率，根据开枪次数计算概率转移即可。
<后记>