今天打 CF，遇到一个 KMP 的题目，解法很好想，代码量也不大，我却未能在最后的 17 分钟内 AC。痛定思痛，痛何如哉。今天我要用最详细的语言，把我对 KMP 算法的理解写下来，借此将这个算法印在我心里。
相比于朴素的匹配算法，KMP 算法的优越之处在于不会进行重复比较（或者说不会进行重复匹配）。
无论哪一篇介绍 KMP 算法的文章都会提到这一点，那么不会进行重复比较所指的究竟是什么呢？
概括的说，这指的是在整个匹配过程中，文本串 $T$ 的每个字符只处理一次。
注意，这里所谓的只「处理」一次不一定是只比较一次，处理 $T[i]$ 的过程中，$T[i]$ 可能与模式串 $P$ 的多个位置上的字符进行比较。
下面来解释 KMP 算法是如何做到对文本串 $T$ 的每个字符只处理一次的。
KMP 算法的核心是 fail 数组。先来解释此数组的名字，为何将其命名为 fail。
想象按朴素的办法在文本串 $T$ 中匹配模式串 $P$ 的过程：
从头开始比较，假设在第 $i$ 个字符处失配了，也就是说 $i$ 之前都能匹配上，但 $T[i]
e P[i]$。失配英文可作 mismatch，也可称为 fail。总之，fail 就是失配的意思。具体地说，fail[i] 指示着「若发现文本串 $T$ 的第 $j$ 个位置和模式串 $P$ 的第 $i$ 个位置失配了，即 $T[j]
e P[i]$，那么下一步 $T[j]$ 应该与 $P$ 的哪个位置上的字符相比较」。换言之，若 $T[j]$ 与 $P[i]$ 失配了，下一步就比较 $T[j]$ 与 $P[fail[i]]$。若 $T[j] = P[fail[i]]$ 则 $T[j]$ 处理完毕，接着处理 $T[j+1]$，即拿 $T[j+1]$ 与 $P[fail[i]+1]$ 比较。若 $T[j]
e P[fail[i]]$，即 $T[j]$ 再次失配，则再将 $T[j]$ 与 $P[fail[fail[i]]]$ 比较。如此迭代，直到 $T[j]$ 匹配成功，或者到达边界条件，即 $T[j]$ 与 $P[0]$ 失配，这意味着从 $T[j]$ 往前数找不到模式串 $P$ 的前缀，$T[j]$ 亦处理完毕，接着处理 $T[j+1]$，将其与 $P[0]$ 比较。
上一段叙述了在求出 fail 数组之后如何用它在文本串中搜索（或称匹配）模式串。接着来讲如何求 fail 数组。
首先考虑边界条件 fail[0]。
如果文本串 $T$ 的某个位置 $j$ 跟 $P[0]$ 失配了，那么 $T[j]$ 就处理完了，接着应该比较 $T[j+1]$ 与 $P[0]$。
据此，我们可以令 $fail[0] = -1$，即假想在模式串 $P$ 的首个字符 $P[0]$ 之前有一通配符 *，* 可以和任意字符匹配。
假设已经求出了 $fail[0], fail[1], dots, fail[i-1]$。
回顾 $fail[i]$ 的定义，在匹配过程中遇到文本串的第 $j$ 个位置与模式串的第 $i$ 个位置失配，那么下一步应该将 $T[j]$ 与模式串的第 $fail[i]$ 个字符比较。
不妨设想 $T[j-1]$ 与 $P[i-1]$ 失配了，我们知道此时应比较 $T[j-1]$ 与 $P[fail[i-1]]$，按照上面所述的方法，不断迭代，直到找到 $T[j-1]$ 在 $P$ 中的匹配位置，假设这个位置是 $x$，不难看出 $fail[i]$ 就等于 $x + 1$，于是我们得到了求 $fail[i]$ 的方法。
注意到，当文本串 $T$ 的第 $j$ 个位置与模式串 $P$ 的第 $i$ 个位置失配时，我们有 $P[0..i-1]$ 等于 $T[j-i..j-1]$。我们可以把求 fail 数组的过程看作是「在 $P$ 中搜索 $P$」，即文本串 $T$ 与模式串 $P$ 相等。求 $fail[i]$，我们假想「文本串的 $P[i-1]$」 与「模式串的 $P[i-1]$」“失配”，此时应将文本串的 $P[i-1]$ 与模式串的 $P[fail[i-1]]$ 相比较，不断迭代，直到找到「文本串的 $P[i-1]$」在模式串中的匹配位置，设此位置为 $x$，那么 $fail[i]$ 就等于 $x + 1$ 。
分析至此，我们看到，求 fail 数组和在文本串 $T$ 中搜索模式串 $P$ 可以归结为同一个问题。
我们可以把这两个过程的共同点抽出来，写成一个函数 int get_next(const char *P, const int *fail, const char ch, int i) 。这个函数的作用是求出「当字符 ch 与模式串 $P$ 的第 $i$ 个位置失配时， 应该将 ch 的后继字符与模式串 $P$ 的哪个位置作比较」。这个函数的名称，写得具体点，应该是 get_next_when_fail_at 或者 get_next_if_fail_at。
int get_next(const char *P, const int *fail, const char ch, int i) {
i = fail[i];
while (i != -1 && ch != P[i]) {
i = fail[i];
}
return i + 1;
}
有了这个函数，求 fail 数组就很方便了。
void get_fail(const char *P, int *fail, const int len_P) {
fail[0] = -1;
for (int i = 1; i <= len_P; i++) {
fail[i] = get_next(P, fail, P[i-1], i - 1);
}
}
其中参数 len_P 表示模式串 $P$ 的长度。
关于 fail 数组需要特别指出的是
一，根据 fail 数组的定义，fail 数组的下标范围是[0, len_P]，不止 [0, len_P-1]。换言之, $fail[i]$ 对 $i = 0, 1, 2, dots, mathrm{len\_P} - 1, mathrm{len\_P}$ 都有定义。
二，根据 fail 数组的定义，必有 $fail[1] = 0$，也可以把 $fail[1] = 0$ 和 $fail[0] = -1$ 一并作为边界条件，并将函数 get_fail 中的 for 循环改成从 $i = 2$ 开始。为了简洁，我没有这样做。
借助 fail 数组，在文本串 $T$ 中匹配模式串 $P$ 的过程也很容易写
int KMP_match(const char *P, const int len_P, const char * T, const int len_T, const int *fail) {
int cnt = 0;
for (int i = 0, j = 0; i < len_T; ++i) {
if (T[i] == P[j]) {
++j;
if (j == len_P) {
++cnt;
j = fail[j];
}
}
else {
j = get_next(P, fail, T[i], j);
}
}
return cnt; // P 在 T 中出现的次数
}
值得指出的是，上述代码并不要求模式串 P null-terminated。如果 P 是 null-terminated 的，即 P[len_P] == ' '，那么上述代码的第 8 行 j = fail[j]; 可去掉。
复杂度分析
由于 get_fail 和 KMP_match 实质是相同的。下面只详述如何分析 get_fail 的复杂度。
我们观察 fail 数组的相邻两项是如何变化的。
注意到，从 $fail[j-1]$ 到 $fail[j]$, fail 值的增长是通过函数 get_next 的最后一行 return i + 1; 实现的，增量是 1。而函数 get_next 中的 while 循环里的 i = fail[i]; 这个语句使 i 减小（亦即使 $fail[j]$ 的值减少），每次至少减少 1。所以在函数 get_fail 的执行过程中，函数 get_next 的 while 循环中的语句 i = fail[i]; 执行至多 len_P 次。
KMP_match 的复杂度分析是类似的，观察其中的变量 $j$ 的变化规律，亦能得到类似的结论。
补充
许多介绍 KMP 算法的文章是从 prefix function（前缀函数）讲起的。但我认为 fail 数组比 prefix function 更符合直觉，从而使得整个算法容易理解与记忆。另外 fail 数组包含着自动机的思想，从 fail 数组很容易扩展到 AC 自动机，fail 数组有助于理解自动机理论，从而使人容易理解其他基于自动机的算法（例如后缀自动机）。
函数 int get_next(const char *P, const int *fail, const char ch, int i) 也可定义成「将字符 ch 与模式串 $P$ 的第 $i$ 个位置进行匹配，返回值表示 ch 的后继字符应与模式串 $P$ 的哪个位置作匹配」。
int get_next(const char *P, const int *fail, const char ch, int i) {
while (i != -1 && P[i] != ch)
i = fail[i];
return i + 1;
}
void get_fail(const char *P, int *fail, const int len_P) {
fail[0] = -1;
for (int i = 1; i <= len_P; i++) {
fail[i] = get_next(P, fail, P[i - 1], fail[i - 1]);
}
}
int KMP_match(const char *P, const int len_P, const char * T, const int len_T, const int *fail) {
int cnt = 0;
for (int i = 0, j = 0; i < len_T; ++i) {
j = get_next(P, fail, T[i], j);
if (j == len_P) {
j = fail[j];
++cnt;
}
}
return cnt; // P 在 T 中出现的次数
}