The problem
Find three non-negative integers $x$, $y$ and $z$ that meet the following conditions:
egin{cases}
wx + dy = p, \
x + y + z = n.
end{cases}
Constraints
- $1 le n le 10^{12}$
- $0 le p le 10^{17}$
- $1 le d < w le 10^{5}$
分析
先考虑不定方程 $wx + dy = p$，容易排除无解的情形。
令 $W = w / gcd(w, d), D = d / gcd(w, d), M = p / gcd(w, d)$。
求出 $wx + dy = gcd(w, d)$ 的一组特解 $x_0, y_0$，通解可表为
$$
egin{cases}
x = Mx_0 + Dk, \
y = My_0 - Wk,
end{cases}
quad k in mathbb{Z}.
$$
至此，问题归结为解不等式
$$
egin{cases}
x ge 0 \
y ge 0 \
x + y le n
end{cases}
implies
egin{cases}
Mx_0 + Dk ge 0 \
My_0 -Wk ge 0 \
M(x_0 + y_0) - (W-D)k le n
end{cases}
implies
egin{cases}
k ge -frac{Mx_0}{D} \
k le frac{My_0}{W} \
k ge frac{M(x_0 + y_0) - n}{W - D}
end{cases}
$$
首先要考虑的问题是
计算 $x_0, y_0$ 的过程中会不会暴
long long？
若 $a, b$ 是正整数，对于不定方程 $ax + by = gcd(a, b)$，设扩展欧几里得算法给出特解 $x_0, y_0$，可以证明：
- 计算过程中所有变量的绝对值都不超过 $max(a, b)$。
- $|x_0| le b$，$|y_0| le a$。
但是 $Mx_0$ 或 $My_0$ 有可能暴 long long。
比赛时，我就卡在这个地方了。实际上不必按照解不等式的路子死算。
原问题可以重新表述为：已知 $1 le d < w le 10^{5}$，未知数 $x, y$ 是非负整数且满足 $wx + dy = p$，求 $x + y$ 的最小值。把原来的不等式问题转化成求最值问题。
这里的 crucial observation 在于，当 $x + y$ 取到最小值时必有 $y < w$，若不然则 $x +d$ 和 $y - w$ 也满足条件而和更小。因此可以枚举 $y$ 的值，判断 $p - dy$ 能否被 $w$ 整除以及是否有 $ (p -dy)/w + y le n$。这种做法就不存在计算过程暴long long的问题。