题目大意
随机变量 $x_1, dots, x_n$，$x_i$ 在区间 $[L_i, R_i]$ 上均匀分布。试求 $max x_i$ 的期望。
数据范围
- $n le 1000$
- $0 le L_i < R_i le 10^9$
- $L_i, R_i$ 都是整数
分析
首先，$max x_i$ 的取值范围是 $[max L_i, max R_i]$。
其次，$Pr(max x_i le x) = prod_{i:x le R_i} frac{x - L_i}{R - L_i}$。
令 $L = max L_i$，$R = max R_i$，有
egin{aligned}
E(max x_i) &= int_L^R x dif Pr(max x_i le x) \
&= xPr(max x_i le x)|_L^R - int_L^R Pr(max x_i le x) dif x \
&= R - int_L^R Pr(max x_i le x) dif x
end{aligned}
于是问题归为计算定积分 $int_L^R Pr(max x_i le x) dif x$。
比较方便的办法是从 $R$ 到 $L$ 分段计算 $Pr(max x_i le x)$ 的表达式，再进行积分。时间复杂度 $O(n^2)$。
总结
上述计算过程可以推广。若随机变量 $X$ 在区间 $[L, R]$ 上取值，其累积分布函数是 $F(x):= Pr(Xle x)$，$g(X)$ 随机变量 $X$ 的一个函数，则 $E(g(X)) := int_L^R g(x)dif F(x) = g(R) - int_L^R F(x) dif g(x)$。