hihocoder #1052 基因工程

$DeclareMathOperator{ ev}{rev}$

传送门：基因工程 

这道题拖了好久，一直没有清晰的思路。

当然，$klefrac{n}{2}$ 时，比较简单。下面我着重讲一下当 $k>frac{n}{2}$ ，即前 $k$ 个字符与后 $k$ 个字符有重叠时，如何思考这个问题。

为了便于分析，我们把题目要求形式化成如下的数学表示

假设修改后的字符串为 $S$ ，字符串长度为 $n$ ，则 $S$ 满足

[S_i = S_{i+n-k} qquad   1 le i le k ]

即“$S$是以$n-k$为周期的字符串”。

这样讲对吗？我们回忆一下数学上周期函数的概念，不难发现这个说法不确切，一个有周期性的字符串是无限长的。

为了消除这种数学上的不严格，我们换一种说法

满足

[S_i = S_{i+n-k} qquad  1 le i le k]

且长为$n$的字符串$S$，必定是某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串。

至此我们找到了一个将问题大大简化了的必要条件，显然这个命题反过来也成立。因而有

对于任意长为 $n$ 的字符串 $S$

$S_i = S_{n-k+i}  qquad 1 le i le k, quad  0 le k le n,$

  $iff$ $S$ 是某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串

UPDATE (2019/5/16)

另一道跟周期串有关的字符串构造题，CF1158B The minimal unique substring。

$mathsf{UPD (2018/12/27)}$

多年以后又遇到一个类似的问题，CF1081H Palindromic Magic，想起这篇旧文。

作者（fjzzq2002）在题解中也定义了周期串，把我所谓「$S$ 是某个以 $t$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串」径称为「$S$ 以 $t$ 为周期（$S$ has a period of length $t$）」。

现把题解中的一些术语和定义摘录在此。

Some conventions and symbols：All indices of strings start from zero. $|x|$ denotes length of string $x$. $ ev(x)$ stands for the reverse of string $x$. $xy$ stands for concatenation of $x$ and $y$. $x^{a}$ stands for concatenation of $a$ copies of $x$ (e.g. $x =$ 'ab', $x^2 =$ 'abab'). $x[a, b]$ stands for the substring of $x$ starting and ending from the $a$-th and $b$-th character. (e.g. 'abc'$[1, 2] =$ 'bc')

 

Border of $x$: strings which are common prefix and suffix of $x$. Formally, $x$ has a border of length $t$ ($x[0, t - 1]$) iff $x_i = x_{|x| - t + i}$ ($0le i < t$).

Period of $x$: $x$ has a period of length $t$ iff $x_i = x_i + t$ $(0 le i < |x| - t)$. When $tmid |x|$ we also call $t$ a full period. From the formulas it's easy to see $x$ has a period of length $t$ iff $x$ has a border of length $|x| - t$, ($ 1 le t le |x|$).

问题转化为：求将一个字符串 $S$ 转化为某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串，所需的最少更改次数。

这个问题思考起来可比原问题清楚多了，而且至此我们已经把开头说到的两种情况统一起来了。

可以通过频数统计求解：

分别统计

[1, 1+n-k, 1+2(n-k), dots ]

[2, 2+n-k, dots]

[cdots]

[n-k, n-k+n-k, dots]

上A, G， C， T出现的频数，将其改成频数最大的那个字符，这样所需的总改动次数就是答案。

P.S. 这篇随笔是我看了李舜阳的 hihoCoder #1052 基因工程 后写的。看他画的图还是不能完全把握这个问题，我觉得从数学上将问题形式化，寻找能够简化问题的必要条件，对我们分析问题极有帮助，也是一种科学的思维方式。我们即使不画图也能透彻地分析这个问题，相反只看李舜阳的图而不借助形式化的推导仍是糊里糊涂。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N=1e3+10;
char s[MAX_N];
const char* item="ACGT";
int main(){
    //freopen("in", "r", stdin);
    int T, K, N, rep, ans, maxi, cnt[4]; //A, C, G, T
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%s%d", s+1, &K);
        N=strlen(s+1);
        rep=N-K;
        ans=0;
        for(int i=1; i<=rep; i++){
            memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
            for(int j=i; j<=N; j+=rep){
                for(int k=0; k<4; k++){
                    if(s[j]==item[k]){
                        cnt[k]++;
                        break;
                    }
                }
            }
            maxi=0;
            for(int j=0; j<4; j++){
                maxi=max(maxi, cnt[j]);
                ans+=cnt[j];
            }
            ans-=maxi;
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}