埃氏筛法的一般写法（区间筛法）

问题

求 $[L, R]$ 之间的素数表。

解法

一个合数 $n$ 的最小素因子不超过 $sqrt{n}$。因此，在埃氏筛法的过程中，每当“新发现”一个素数 $p$，可以从 $p^2$ 筛起，而不必从 $2p$ 筛起。

先用埃氏筛法求出 $[1,lfloor sqrt{R} floor]$ 上的素数表，再在 $[L, R]$ 上用埃氏筛法求素数。

const int N(1e5);
bool isprime[N];
int prime[N];
void init() {
    memset(isprime, -1, sizeof isprime);
    isprime[0] = isprime[1] = 0;
    int np = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (isprime[i]) {
            prime[np++] = i;
            for (int j = i * i; j < N; j += i)
                isprime[j] = 0;
        }
    }
}
typedef long long ll;
const int M(1e5);
bool ok[M];
int res[M];
int seive(ll l, ll r) {
    assert(1 <= l && l <= r);
    memset(ok, -1, sizeof ok);
    if (l == 1) ok[0] = 0;    //error-prone
    int k = sqrt(r);
    for (int i = 0; prime[i] <= k; i++) {
        ll j = (l + prime[i] - 1) / prime[i] * prime[i];
        j = max(j, (ll) prime[i] * prime[i]);
        for (; j <= r; j += prime[i])
            ok[j - l] = 0;
    }
    int np = 0;
    for (int i = 0; i <= r - l; i++)
        if (ok[i]) res[np++] = i + (ll) l;
    return np;
}

 更新：

不必先把 $[2, lfloor sqrt{R} floor]$ 上的素数存下来。更好的做法是先分别做好 $[2, lfloor sqrt{R} floor]$ 和 $[L, R]$ 的表，然后从 $[2, lfloor sqrt{R} floor]$ 的表中筛得素数的同时，也将其倍数从 $[L, R]$ 中划去。

const int N = 1e6 + 5, M = sqrt(1e9);

bool is_prime[N];
// 注意：用 sqrt(1e9) + 1 作为数组大小不符合标准, sqrt(1e9) 不是编译期常量，但是 gcc 支持这样做。
bool is_prime_small[M + 1];

void segment_seive(int l, int r) { // [l, r]
    assert(1 <= l && l <= r);
    int t = sqrt(r + 0.5);
    for (int i = 2; i <= t; i++)
        is_prime_small[i] = true;
    for (int i = 0; i <= r - l; i++)
        is_prime[i] = true;
    if (l == 1) is_prime[0] = false;

    for (int i = 2; i <= t; i++)
        if (is_prime_small[i]) {
            for (int j = i * i; j <= t; j += i)
                is_prime_small[j] = false;
            for (int j = max(i * i, (l + i - 1) / i * i); j <= r; j += i)
                is_prime[j - l] = false;
        }
}