题目大意
有 $n$（$1le nle 200000$）个变量 $x_1, x_2, dots, x_n$，满足
egin{equation}
0le x_i le a_i label{C:0}
end{equation}
其中 $1le a_i le 10^6$，$a_iinmathbb Z$ 。
给定常数 $T$（$1le Tinmathbb Zle 10^6$）以及常数 $t_1, t_2, dots, t_n$（$1le t_iinmathbb Zle 10^6$），求解下述最优化问题
egin{align}
max sum_{1le ile n} x_iquad mathrm{s.t.} label{sum} \
frac{sum_{1le ile n}x_it_i}{sum_{1le ile n}x_i} = T label{C:1}
end{align}
若无解则输出 0 。
解法
比赛时我毫无思路，想不起来从前遇没遇到过类似的题目。
首先将 eqref{C:1} 化为
egin{equation}
sum_{1le ile n} (t_i - T) x_i = 0 label{C:2}
end{equation}
将约束条件写成这种形式，保证了新问题与原问题完全等价。（换言之，包含了无解—即 eqref{C:1} 无法满足—的情况）
下面的讨论都基于 eqref{C:2} 式。
这个问题不必【也不可能？（$n$ 太大）】用线性规划求解。
key observation 是
eqref{C:2} 中的各项可以按系数 $t_i -T$ 的正负性分成两组分别考虑，二者是“无关”的。
具体而言，设
egin{align}
S_+&=sum_{t_i-T>0}(t_i-T) a_i \
S_-&= sum_{t_i - T < 0}(T-t_i) a_i \
S_{mathrm{min}} &= min{S_+\,, S_-}
end{align}
我们有
$forall 0le S le S_{mathrm{min}}$，$exists x_1, x_2, dots, x_i, dots, x_n$ 满足 eqref{C:0} 且满足
egin{align*}
sum_{t_i -T > 0} (t_i - T) x_i = S \
sum_{t_i - T<0} (T-t_i) x_i = S
end{align*}
不难看出，取 $S = S_{mathrm{min}}$ 可使 eqref{sum} 最大。
这题实际上是一道贪心问题。
推广
把 eqref{C:1} 的分子分母中的 $x_i$ 都换成 $x_i^2$ 也是一样的做法。
但是若只把分母或分子中的 $x_i$ 换成 $x_i^2$ 改怎么做呢？