数理统计学复习

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chap 1

概念

• 概率空间

A probability space is a triple $(Omega, mathcal{F}, P)$ where $Omega$ is a set of "outcomes," $mathcal{F}$ is a set of "events," and $Pcolon mathcal{F} o [0,1] $ is a function that assigns probabilities to events. We assume that $mathcal{F}$ is a $sigma$-field (or $sigma$-algebra), i.e., a (nonempty) collection of subsets of $Omega$ that satisfy

(i) if $Ainmathcal{F}$ then $A^c inmathcal{F}$, and
(ii) if $A_iinmathcal{F}$ is a countable sequence of sets then $igcup_iA_iinmathcal{F}$.

Here and in what follows, countable means finite or countably infinite. Since $igcap_iA_i = (igcup_iA_i^c)c$, it follows that a $sigma$-field is closed under countable intersections.

Without $P$, $(Omega,mathcal{F})$ is called a measurable space, i.e., it is a space on which we can put a measure. A measure is a nonnegative countably additive set of function; that is, a function $mucolonmathcal{F} omathbb{R}$ with

(i) $mu(A)gemu(emptyset) = 0$ for all $Ainmathcal{F}$, and
(ii) if $A_iinmathcal{F}$ is a countable sequence of disjoint sets, then
[
mu(igcup_iA_i) = sum_imu(A_i)
]
If $mu(Omega) = 1$, we call $mu$ a probability measure. In this book, probability measures are usually denoted by $P$.

• 随机试验/随机现象
• 样本空间，样本点
• 随机事件 abbr. 事件
• 事件 $A$ 与 $B$ 相互独立
• $n$ 个事件相互独立，两两独立

---

• ?随机变量 abbr. RV： $X$，$Y$，……

A real valued function $X$ defined on $Omega$ is said to be a random variable if for every Borel set $Binmathbb R$ we have $X^{-1}(B) = {omegacolon X(omega)in B}inmathcal{F}$. When we need to emphasize the $sigma$-field, we will say that $X$ is $mathcal{F}$-measurable or write $Xinmathcal{F}$.（A Borel set is an element of a Borel sigma-algebra.）

这个定义我还不能完全理解，我不理解 Berel set 究竟是什么。我本科概统教材上给出的随机变量的定义是：

设 $Omega$ 为一个样本空间，若对任意 $omegainOmega$，都有一个实数 $X(omega)$ 与之对应，则称 $X(omega)$ 为一个随机变量，并简记为 $X$ 。

• 分布函数/DF $F(x) := P(Xle x)quad xinmathbb R$
• 概率密度函数 abbr. 密度函数/PDF（在下文中，对于连续 RV，“分布”一词一般指概率密度函数）

正态分布：$Xsim N(mu,sigma^2)quad f(x) = dfrac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{{-dfrac{(x-mu)}2}{2sigma^2}}, xinmathbb R, muinmathbb R, sigma > 0 $

高斯积分

考虑广义积分

$$ A = int_{-infty}^{infty} dfrac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{{-dfrac{(x-mu)}2}{2sigma^2}} dif x$$
做变量替换，令 $ t = frac{x - mu} {sqrt2sigma}$，得

$$ A = frac1{sqrtpi} oxed{color{blue} {int_{-infty}^{infty} e^{-t2} dif t} } $$

$int_{-infty}^{infty} e^{-t2} dif t$ 称作高斯积分，也称概率积分。需要证明

$$ I = int_{-infty}^{infty} e^{-t2} dif t = sqrt{pi} $$

为证此式，考虑

$$ I^2 = int_{-infty}^{infty} e^{-t2} dif t int_{-infty}^{infty} e^{-u2} dif u = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-(t2+u^2)}dif tdif u $$

转化成极坐标 $ t = rcos heta, u = rsin heta$，上式转化为

$$ I^2 = int_0^{{2pi}dif hetaint_0}infty e^{-r2}rdif r = pi,$$

明所欲证。

• 二维随机变量 $(X,Y)$（可以理解为两个随机变量）
• $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(X,Y) := P(Xle x, Yle y)$
• 边际分布函数：$F_X(x)$，$F_Y(y)$
• 随机变量的函数的分布：$X$ 的 PDF 为 $f(x)$，$Y=g(X)$，求 $Y$ 的 PDF。

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随机变量的数字特征

• 数学期望 abbr. 期望：$E(X)$

和的期望等于期望的和，不论独立不独立。

• $k$ 阶原点矩： $E(X^k)$
• $k$ 阶中心矩：$E{[X-E(X)]^k }$
• 方差：$mathrm{Var}(X) := E{[X-E(X)]^2 } =oxed{color{blue}{ E(X^2) - [E(X)]^2 }}$（二阶中心矩）
• 标准差：$sigma_X = sqrt{mathrm{Var}(X)}$
• $X$，$Y$ 的协方差：$mathrm{Cov}(X,Y) := E{[X-E(X)] [Y-E(Y)] } = oxed{E(XY) - E(X)E(Y)}$

egin{align*}
mathrm{Var}(X+Y)& = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 \
&= E(X^2) - [E(X)]^2 + E(Y^2) - [E(Y)]^2 + 2[E(XY)- E(X)E(Y)] \
&= mathrm{Var}(X) + mathrm{Var}(Y) + 2mathrm{Cov}(X,Y)
end{align*}

• $X$，$Y$ 的线性相关系数：$ ho_{XY} = dfrac{mathrm{Cov}(X,Y)}{sqrt{mathrm{Var}(X)}sqrt{mathrm{Var}(Y)}}$
• $X$ 的标准化随机变量：$X^* := dfrac{X-E(X)} {sqrt{mathrm{Var}(X)}}$
• $n$ 个随机变量的协方差矩阵：$Sigma := (sigma_{ij})_{n imes n}$，$sigma_{ij} = mathrm{Cov}(X_i,X_j)$

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泊松分布：$P(X = k) = dfrac{lambda^k}{k!}e{-lambda}$，记做 $Xsim P(lambda)$，$lambda > 0$ 。
$E(X) = e^{-lambda}sum_{kge 0} kdfrac{lambda^k}{k!} = e^{-lambda}sum_{kge 1} kdfrac{lambda^k}{k!} = lambda e^{-lambda}sum_{kge 1} dfrac{lambda^{k-1}}{(k-1)!} = lambda e^{-lambda}sum_{kge 0} dfrac{lambda^{k}}{k!} = lambda$

$ E(X^2) = e^{-lambda} sum_{k>=0} k^2 dfrac{lambda^k}{k!} = lambda e^{-lambda} sum_{kge 0} (k+1) dfrac{lambda^{k}}{k!} = lambda(lambda + 1)$

从而 $ mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = lambda $

chap 2

• 总体，个体，个体的数量指标（个体的出现是随机的 $implies$ 个体的数量指标是随机变量，记做 $X$）
• 抽样
• 样本，样本容量 $n$（样本是一个复数（plural）概念，抽到的个体是随机得到的，其数量指标是 $n$ 个随机变量 $X_1, dots, X_n$）
• 样本容量 $n$，样本观测值 $x_1, dots x_n$ 。
• 简单随机抽样，简单随机样本

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• 统计量：函数 $T = T(X_1, dots, X_n)$，其中不含未知参数。
• 样本均值：$overline{X} = frac1n sum_{1le ile n} X_i$
• 样本方差：$S^2 = frac{1}{n-1}sum_{1le ile n} left(X_i - overline{X} ight)^2$，样本标准差 $S$
• 样本 $k$ 阶原点矩：$A_k = frac{1}{n}sum_{1le ile n} X_i^k$
• 极大次序统计量：$X_{(n)} = max{X_1, dots, X_n}$
• 极小次序统计量：$X_{(1)} = min{X_1, dots, X_n}$

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• 抽样分布：统计量的分布（统计量也是一个随机变量）
• $chi^2$ 分布：$chi^2 = X_1^2 + dots + X_n^2, quad X_isim N(0,1)$

$chi^2$ 分布的推导

设 RV $Xsim chi^2(n)$ 。考虑 $X$ 的 DF

$$ P(X le x) = frac1{left(sqrt{2pi} ight)^n} int_{V} e^{-frac12(sum_i x_i^2)} dif x_1 dif x_2 dots dif x_n $$
其中积分区域 $V$ 为 $n$ 维球 $sum_i x_i^2 le x$ 。

由于积分区域和被积函数具有球对称性，上述积分在 $n$ 维球坐标系下表示为

$$ P(X le x) = c_n int_{0}^{sqrt{x}} e^{-frac{r2}{2}} r^{n-1}dif r $$

其中 $c_n$ 是与 $n$ 有关的常数。

考虑上述积分在 $x o infty$ 时的极限，有

$$ 1 = c_n oxed{color{blue}{int_{0}^{infty} e^{-frac{r2}{2}} r^{n-1}dif r}} $$

形如 $ int_{0}^{infty} e^{-frac{r2}{2}} r^{n-1}dif r $ 的广义积分没有解析形式，引入一种特殊函数来表示这一类积分。

$Gamma$ 函数

$$ Gamma(x) = int_0^infty t^{x-1} e^{-t} dif t , quad x > 0 $$

注意：并非对任意 $xinmathbb{R}$ 上述广义积分都收敛，$Gamma(0)$ 就不收敛。

做变量替换，令 $u = r^2/2$ ，则 $r = (2u)^{frac12}, dif r = (2u)^{-frac12}dif u$ 。于是

$$ int_{0}^{infty} e^{-frac{r2}{2}} r^{n-1}dif r = int_{0}^{infty} e^{-u} (2u)^{n/2-1} dif u = 2^{n/2-1} Gamma(frac n2)$$

于是

[
c_n = frac1{2^{n/2-1} Gamma(frac n2)}
]

从而 $chi^2(n)$ 的 PDF 为

$$
f(x) = frac{dif P(Xle x)}{dif x} = c_n frac { e^{-frac{x}{2}} x^{frac{n-1}{2}} difsqrt{x} } {dif x} = frac1{2^{n/2} Gamma(frac n2)} e^{-frac{x}{2}} x^{frac{n}{2}-1}
$$

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设 RV $X$ 的 PDF 为 $f(x)$，$Y$ 的 PDF 为 $g(y)$，求 $Z=X+Y$ 的 PDF $h(z)$，考虑下面几种解法是否正确。
(1) $ h(z) = int_{-infty}^infty f(x)g(z-x)dif x$
(2) $ h(z) = int_{-infty}^infty f(x)g_{Ymid X}(z-xmid x)dif x$
其中 $g_{Ymid X}(z-xmid x)$ 为给定 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件密度函数，$g_{Ymid X}(ymid x) = dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 。
注意：这里的 $f(x,y)$ 不能由 $f(x)$ 和 $g(y)$ 算出来，需要另外给出。