Codeforces 1017C The Phone Number

题目

对于 $1$ 到 $n$ 的一个排列，用 $mathsf{LIS}$ 表示其最长上升子序列的长度，用 $mathsf{LDS}$ 表示其最长下降子序列的长度。输出一个使得 $mathsf{LIS} + mathsf{LDS}$ 最小的排列。

分析

这道题是 CF Round 502 的 C 题。比赛时我毫无思路，过了 D 题之后，面对 C 束手无策，非常难受。下面来仔细说一说「如何思考这个问题」。

观察样例可以看出一种「使得 $mathsf{LIS} + mathsf{LDS}$ 比较小」的排列模式（pattern）。

将 $1$ 到 $n$ 分成 $k$ 组，每一组都单调递增，第 $i$ 组的最小值大于第 $i+1$ 组的最大值；比如 $n= 9$，7,8,9|4,5,6|1,2,3 就是一个满足上述条件的排列，8,9|5,6,7|1,2,3,4 也是。设第 $i$ 组有 $a_i$ 个数，则 $mathsf{LIS} = max_{i =1}^{k} a_k$，$mathsf{LDS} = k$ 。

当划分的组数 $k$ 确定时，显然 $mathsf{LIS}$ 的最小值为 $lceil n/k ceil$ 。于是问题化为 $arglimits_kmin k + lceil n/k ceil $ 。暴力枚举 $k$ 即可。前已说明，这并不一定是最优解，只是一个上界。

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题外话

对于任意正整数 $n$ ，$k + lceil n/k ceil $（$k$ 是正整数）一定是在 $k = lfloor sqrt{n} floor$ 处取到最小值吗？

试证明，对任意整数 $n$ 有 $ n/ lfloor sqrt{n} floor = lceil sqrt{n} ceil $， $ n/ lceil sqrt{n} ceil = lfloor sqrt{n} floor $

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自然的，现在我们要考虑的问题是

是否存在一个排列满足 $mathsf{LIS} < lceil frac{n}{mathsf{LDS}} ceil $?

这个问题也可以表述为

是否存在一个排列满足 $mathsf{LDS} < lceil frac{n}{mathsf{LIS}} ceil $?

因为将排列首尾翻转以后，$mathsf{LIS}$ 与 $mathsf{LDS}$ 就互换了。

如果我们能证明这样的排列不存在，那么就证明了上面求出的上界亦是下界。

我们将证明这样的排列确实不存在。

前置知识

1. 偏序集（partially ordered set，poset）

2. 链 （chain），反链（antichain）

Dilworth 定理

For any finite partially ordered set, there exists an antichain $A$, and a partition of the order into a family $P$ of chains, such that the number of chains in the partition equals the cardinality of $A$.

Notes：定理中所谓「a partition of the order」即「a partition of the poset」。

若某条反链 $A$ 与某个链划分 $P$ 大小（cardinality）相等，必然有

1. $A$ 是偏序集中的一条最长反链。
2. $P$ 是偏序集的最小链划分。

证明：对于任意一个链划分 $P$，设 $C$ 是其中的一条链，则 $A$ 中至多有一个元素来自于链 $C$ 。也就是说，对于任意反链 $A$ 和任意链划分 $P$，有 $|A| le |P|$ 。

因此，Dilworth 定理也可表述为

任意有限偏序集的最长反链的长度，等于其最小链划分中链的个数。

Note：所谓「链/反链的长度」是指其中的元素个数。

Dilworth 定理与我们要证明的东西有什么联系呢？

我们可以从一个排列构造出一个偏序集：
设 $a_1, a_2, dots, a_n$ 是一个 $1$ 到 $n$ 的排列，在集合 $S := {1, 2, dots, n}$ 上定义偏序：$i prec j$ 当且仅当 $i < j$ 且 $a_i < a_j$。于是偏序集 $S$ 里的最长链的长度即 $mathsf{LIS}$，最长反链的长度即 $mathsf{LDS}$。对于 $S$ 的任意链划分 $P$，有 $mathsf{LIS} ge ext{「$P$ 里的最长链的长度」} ge lceil frac{n}{|P|} ceil$，又因为存在链划分 $P$ 使得 $|P| = ext{「最长反链的长度」}$，于是有 $mathsf{LIS} ge lceil frac{n}{mathsf{LDS}} ceil$ 。

Erdős–Szekeres theorem

任给两正整数 $r, s$，任意长度为 $(r − 1)(s − 1) + 1 $，由互异的实数构成的序列或者包含一个长为 $r$ 的单调递增序列，或者包含一个长为 $s$ 的单调递减序列。

这个定理的表述真是拗口。

References

https://codeforces.com/blog/entry/61081?#comment-450158

https://codeforces.com/blog/entry/61081?#comment-450152

https://en.wikipedia.org/wiki/Dilworth's_theorem