说明：本文用 $phi$ 表示欧拉函数而不用 $varphi$，尽管后者更为常用。$DeclareMathOperator{lcm}{lcm}$
欧拉函数 $phicolonmathbb Z_{>0} o mathbb Z$ 定义为
[ phi(n) = |{min mathbb Zcolon 1 le m le n, gcd(m, n) = 1}|]
换言之，$phi(n)$ 是模 $n$ 的既约剩余系中的元素个数（或者说「模 $n$ 的既约剩余系的大小」）。
一般地说，定义域为正整数的函数称为数论函数。数论函数 $f$ 是积性函数如果对任意互素的正整数 $a,b$ 有 $f(ab) = f(a) f(b)$ 。
下面我们证明欧拉函数 $phi$ 是积性函数。
证法一（容斥原理）
用 $[n]$ 表示 ${1,2,dots, n}$，$[0]:= emptyset$ 。设 $n$ 有 $k$ 个不同的质因子：$p_1 < p_2 < dots < p_k$，由容斥原理有
egin{aligned}
phi(n) &= sum_{Isubseteq [k]} (-1) ^{|I|} frac{n}{prod_{iin I}p_i} \
&= nsum_{Isubseteq [k]} 1^{n - |I|} prod_{iin I} -frac{1}{p_i} \
&= n (1 - frac1{p_1}) ( 1 - frac1{p_2}) dots (1 - frac1{p_k})
end{aligned}
证法二（中国剩余定理）
设 $gcd(a,b)=1$。设 $A,B,C$ 分别是模 $a,b,ab$ 的既约剩余系。我们证明：存在从 $A imes B$ 到 $C$ 的双射。
首先证明存在 $C o A imes B$ 的单射，实际上有 $forall x in C$，$xmapsto (xmod a, xmod b)$ 是单射。$forall x, y in C$，
egin{cases}
x equiv ypmod a \
x equiv ypmod b
end{cases}
等价于
egin{cases}
amid (x - y) \
bmid (x - y)
end{cases}
这意味着 $lcm(a,b)mid (x -y)$ 。
若 $a
e b$，则有 $a,b$ 互质，从而 $ab mid (x - y)$，即 $xequiv y pmod{ab}$，所以 $xmapsto (xmod a, xmod b)$ 是单射。
又根据中国剩余定理，$forall r_1 in A, r_2 in B$，同余方程组
egin{cases}
x equiv r_1 pmod{a}\
x equiv r_2 pmod{b}
end{cases}
在模 $ab$ 下有唯一解。