设在第 $x$ 天二人都 lucky，则有 $DeclareMathOperator{lcm}{lcm}$
$ x = y_a t_a + R_a $
$ x= y_b t_ b + R_b$
约束条件：
$ l_a le R_a le r_a$，$l_b le R_b le r_b$
$ y_a, y_b ge 0$
写成同余方程组
egin{cases}
x equiv R_a pmod{t_a} \
x equiv R_b pmod{t_b}
end{cases}
设 $x_0$ 是上述同余方程组的一个特解，则其通解可表为 $x = x_0 + klcm(t_a, t_b)$，$kinmathbb Z$ 。
容易证明，同余方程组
egin{cases}
x equiv r_1 pmod{m_1} \
x equiv r_2 pmod{m_2}
end{cases}
有解的充要条件是 $gcd(m_1,m_2) mid (r_1 - r2)$，此充要条件亦可写成 $r_2 = r_1 + k gcd(m_1,m_2), kinmathbb Z$，或者写成 $r_1 equiv r_2 pmod{gcd(m_1,m_2)}$ 。
解法：二分答案。
实现：http://codeforces.com/contest/1055/submission/45569689
总结
求解形如
egin{equation}
egin{cases}
x equiv a_1 pmod{m_1} \
x equiv a_2 pmod{m_2} \
vdots \
x equiv a_n pmod{m_n}
end{cases} label{E:0}
end{equation}
的同余方程组。
考虑两个方程构成的同余方程组
egin{equation}
egin{cases}
x equiv a_1 pmod{m_1} \
x equiv a_2 pmod{m_2}
end{cases}label{E:1}
end{equation}
即
egin{equation}
egin{cases}
x = m_1 s + a_1 \
x = m_2 t + a_2
end{cases}label{E:2}
end{equation}
$s, t$ 满足方程
egin{equation}
m_1 s + a_1 = m_2 t + a_2 label{E:3}
end{equation}
根据裴蜀定理，eqref{E:3} 有解的充要条件是 $gcd(m_1,m_2)mid (a_1 - a_2)$ 。以下假设此条件成立，并令 $d = gcd(m_1,m_2)$ 。eqref{E:3} 亦可写成
egin{equation}
m_1 s = m_2 t + (a_2 - a_1) label{E:4}
end{equation}
方程 eqref{E:4} 等价于
egin{equation}
m_1 s equiv a_2 - a_1 pmod{m_2}label{E:5}
end{equation}
注意：一个不定方程等价于一个同余方程。要熟悉这两种形式的相互转化。
方程 eqref{E:5} 又等价于
egin{equation}
frac{m_1}{d} s equiv frac{a_2 - a_1}{d} pmod{ frac{m_2}{d} } label{E:6}
end{equation}
解得
egin{equation*}
s equiv left(frac{m_1}{d}
ight)^{-1}frac{a_2 - a_1}{d} pmod{ frac{m_2}{d} } label{E:7}
end{equation*}
其中 $left(frac{m_1}{d}
ight)^{-1}$ 表示 $frac{m_1}{d}$ 在模 $ frac{m_2}{d} $ 下的逆元，可用扩展欧几里得算法求得。令 $ b = left(frac{m_1}{d}
ight)^{-1}frac{a_2 - a_1}{d} $，有
egin{equation}
s = k frac{m_2}{d} + b label{E:8}
end{equation}
将 eqref{E:8} 代入 eqref{E:2}，得
egin{equation}
x = k frac{m_1m_2}{d} + m_1 b + a_1 label{E:9}
end{equation}
即
egin{equation}
x equiv m_1 b + a_1 pmod{ frac{m_1 m_2}{d}} label{E:10}
end{equation}
至此，我们将同余方程组 eqref{E:1} 化成了等价（同解）的同余方程 eqref{E:10} 。
我们证明了
若 eqref{E:1} 有解，则其在模 $lcm(m_1,m_2)$ 下有唯一解 $x_0 $。
故可用 $x equiv x_0 pmod{lcm(m_1,m_2)}$ 取代 eqref{E:0} 中的前两个方程，不断如此操作，最后将得到 $x equiv a pmod{lcm(a_1, a_2, dots, a_m)}$，这样就得到了 eqref{E:0} 的通解，也意味着
若 eqref{E:0} 有解，则其在模 $lcm(m_1,m_2, dots, m_n)$ 下有唯一解。
后记
Miskcoo 的文章 从 eqref{E:3} 的特解和通解入手证明了 eqref{E:2} 在模 $lcm(m_1,m_2)$ 下有唯一解，其思路更为简洁。
用扩展 Euclid 算法求出 eqref{E:3} 的特解 $s',t'$，即可得到 eqref{E:2} 的特解 $x_0 = s'm_1 + a_1$，然后用 $x equiv x_0 pmod{lcm(m_1, m_2)}$ 替换 eqref{E:0} 中的前两个方程。