【noip2018】【luogu5021】赛道修建

题目描述

C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。

C 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2,\dots ,n$，有 $n-1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a^i$ 和 $b^i$，该道路的长度为 $l^i$。借助这 $n-1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路 $e^1,e^2,\dots ,e^k$，满足可以从某个路口出发，依次经过 道路 $e^1,e^2,\dots ,e^k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）

输入输出格式

输入格式：

输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$，分别表示路口数及需要修建的 赛道数。

接下来 $n-1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数 $a^i,b^i,l^i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道 路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n-1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。

输出格式：

输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。

【数据规模与约定】

对于所有的数据， $2\le n\le 50,000$， $1\le m\le n-1$， $1\le a^i,b^i\le n$， $1\le l^i\le 10,000$。

题解：

       题意即求一个k段不相交路径长度最小值的最大值；

       二分这个最大的最小值mid，那么要求判断是否有一种方案可以分出>=k条路径使得权值都>=mid;

      树形dp  ： 当做到节点u，要么u的所有儿子都一定成为了路径，要么至多有一条可以向上延伸的路径；

      这样如果可以在u形成>=mid的路径，那么一定比此时不形成路径往上连更优；

      记录每个点可以往上连的权值val，考虑u的儿子v，u,v之间的边为E[i]  （代码风格，忍受一下。。）

      val[v]+E[i].w >= mid 直接统计为一条合法路径；

      否则把左边存在一个数组里，可以知道要形成路径只能两两配对，排序后二分可以确定最大的对数；

      注意未配对的最大的数可能可以替换已配对的权值，找到最大可替换数设置成val[u](注意细节)

      复杂度   $O(n log^2 n)$

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define rg register 
#define il inline 
#define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
using namespace std;
const int N=50500;
int n,k,o,hd[N],mid,val[N],sum,p[N];
vector<int>g[N];
struct Edge{int v,nt,w;}E[N<<1];
void adde(int u,int v,int w){
    E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
    E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++; 
}
bool check2(int u,int Mid){
    int cnt=g[u].size();
    int p=cnt-(Mid<<1); 
    for(int i=1;i<=Mid;i++){
        if(g[u][p+i-1]+g[u][cnt-i]<mid)return false;
    }
    return true;
}
void dfs(int u,int fa){
    g[u].clear();
    val[u]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
        int v=E[i].v;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        int t=E[i].w+val[v];
        if(t>=mid)sum++;
        else g[u].push_back(t); 
    }
    int cnt=(int)g[u].size();
    if(!cnt)return;
    sort(g[u].begin(),g[u].end());
    int l=0,r=cnt>>1;
    while(l<r){
        int Mid=(l+r+1)>>1;
        if(check2(u,Mid))l=Mid;
        else r=Mid-1;
    }
    sum+=l;
    if((l<<1)==cnt)return;
    for(int i=0;i<l;i++){
        int t1=cnt-(l<<1)+i;
        int t2=cnt-1-i;
        p[t1]=t2;
        p[t2]=t1;
    }
    int t;
    for(t=cnt-(l<<1);t<cnt&&g[u][t-1]+g[u][p[t]]>=mid;t++){
        p[p[t]]=t-1;
        p[t-1]=p[t]; 
    }
    t--;
    return void(val[u]=g[u][t]);
}
bool check1(){
    sum=0;dfs(1,0);
    return sum>=k;
}
int main(){
    freopen("track.in","r",stdin);
    freopen("track.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int l=inf,r=0;
    o=1;
    for(rg int i=1,u,v,w;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        r+=w; l=min(l,w);
        adde(u,v,w);
    }
    while(l<r){
        mid=(l+r+1)>>1;
        if(check1())l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    printf("%d
",l);
}//by tkys_Austin;