loj2541【PKUWC2018】猎人杀

 

• 题解

  • 题目中的选择条件等价于正常选择所有猎人，而如果选到已经出局的猎人就继续选；
  • 这两种选法是一样的因为(设$W=sum_{i=1}^{n}w_{i}$ , $X$为已经出局的猎人的$w$之和)：
    
  • $P_{i} = sum_{i=0}^{ infty } {(frac{X}{W})}^i frac{w_{i}}{W}$
  •  $= frac{w_{i}}{W} sum_{i=0}^{ infty } {(frac{X}{W})}^i$
  • $ = frac{w_{i}}{W} frac{1}{1-frac{X}{W}}$
  • $ = frac{w_{i}}{W-X} $
  • 考虑枚举强制$S$集合$(1 otin S)$中的人在1之后出局，设$X(S) = sum_{i=2}^{n} [i in S]w_{i}$；
  •  $ans = sum_{S} {(-1)}^{|S|}  sum_{i=0}^{ infty }  (1-frac{w_{1}+X(S)}{W})^i  frac{w_{1}}{W} $
  • $ans  = sum_{S} {(-1)}^{|S|} frac{w_{1}}{w_{1}+X(S)} $
  • 考虑求这个式子：
  • $ans = sum_{i=0}^{W} frac{w_{1}}{w_{1}+i} sum_{S} [X(S)==i] (-1)^{|S|}$
  • 用生成函数$Pi_{i=2}^{n} (1-x^{w_{i}})$处理处后面的部分即可；
  • 时间复杂度：$O(Wlog^2 W)$

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
using namespace std;
const int N=200010,M=20;
int n,m,w[N],f[M][N],mx[M],L,len,sz,Wn[M][N],rev[N];
char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
    return x;
}
int pw(int x,int y){
    int re=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)re=1ll*re*x%mod;
    return re;
}
void ntt(int*a,int f){
    for(int i=0;i<len;++i)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        int wn=Wn[!~f][i<<1];
        for(int j=0;j<len;j+=i<<1){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*wn*w%mod){
                int x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(!~f){
        int iv=pw(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;++i)a[i]=1ll*a[i]*iv%mod;
    }
}
void solve(int l,int r){
    if(l==r){
        mx[++sz]=w[l];
        f[sz][0]=1;f[sz][w[l]]=mod-1;
        for(int i=1;i<w[l];++i)f[sz][i]=0;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(l,mid),solve(mid+1,r);
    int a=sz-1,b=sz;
    m=mx[a]+mx[b];
    for(L=0,len=1;len<=m;len<<=1,L++);
    for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for(int i=mx[a]+1;i<len;++i)f[a][i]=0;
    for(int i=mx[b]+1;i<len;++i)f[b][i]=0;
    ntt(f[a],1);ntt(f[b],1);
    for(int i=0;i<len;++i)f[a][i]=1ll*f[a][i]*f[b][i]%mod;
    ntt(f[a],-1);
    mx[--sz]=m;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("loj2541.in","r",stdin);
    freopen("loj2541.out","w",stdout);
    #endif
    n=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)w[i]=rd();
    for(int i=1<<17;i;i>>=1){
        Wn[0][i]=pw(3,(mod-1)/i);
        Wn[1][i]=pw(Wn[0][i],mod-2);
    }
    solve(2,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=mx[1];++i){
        ans=(ans + 1ll*f[1][i]*w[1]%mod*pw(i+w[1],mod-2)%mod)%mod;
    }
    cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}