【JZOJ6223】【20190617】互膜

题目

小(A)和小(B)在一个长度为(2n)的数组上面博弈，初始时奇数位置为A，偶数位置为B

小(A)先手，第(i)次操作的人可以将(i)或者(i+1)位置的值反转(也可以不做任何操作)

(n-1)次操作结束后，小(A)得分为所有(A)位置的权值和，小(B)同理

每次会把一个权值改小，询问每次小A得到的和

$n le 200000 $，权值为非负数

题解

• 设(f_{i,0/1})表示从(i)位置向后考虑，(i)位置有没有反转，当前操作的人和另一个人得分差值的最大值

  [egin{align} &egin{cases} f_{i,0} &= max { s_i - f_{i+1,0} , s_i - f_{i+1,1} } \ f_{i,1} &= max { s_i - f_{i+1,0} ,-s_i - f_{i+1,1} } \ end{cases}\ &设Delta _i = f_{i,0} - f_{i,1} \ &由于s_ige 0 显然Delta_i ge 0\ &egin{cases} f_{i,0} &= s_i - f_{i+1,1} \ f_{i,1} &= max { 2s_i - Delta_{i+1} , 0 } - s_i - f_{i+1,1} \ Delta_i &= min { 2s_i , Delta_{i+1} } end{cases}\ &Delta_n=2s_n 维护 Delta_i 也就是对2s_i 取后缀min \ &f_{1,0} = sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}s_i + sum_{i=2}^{n} (-1)^i Delta_{i} \ end{align} ]

• 维护后缀(min)值只有改小的话可以在线段树上先二分再修改，时间复杂度(O(n log n))

• 没有这个条件可以用线段树维护从前往后递增的单调栈

• 具体来说每段区间维护最小值(mn)和区间答案(sum)

• 考虑当前区间(K)的左右儿子为(L,R)，左儿子(L)的左右儿子为(l,r)

  如果 $mn_{R} lt mn_{r} $ ，右区间的贡献都为(mn_R)，直接统计，并递归(l)

  如果 $ mn_R ge mn_r $ ，记录$ add_K (表示用)K(的左儿子的mn走右儿子的答案，直接统计)add_K (并递归)r$

  时间复杂度：$O(n log ^2n ) $

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  
  using namespace std;
  
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  
  const int N=200010;
  int n,m,s[N];
  ll tmp,Mn,mn[N<<2],sum[N<<2],add[N<<2],ans;
  
  ll sg(int l,int r,int x){return ((r-l)&1)?0:l&1?-x:x;}
  void mfy(int k,int l){mn[k]=s[l];sum[k]=l&1?-s[l]:s[l];}
  void cal(int k,int l,int r){
  	if(l==r){tmp+=sg(l,r,min(Mn,mn[k]));return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	if(Mn<mn[rs])tmp+=sg(mid+1,r,Mn),cal(ls,l,mid);
  	else tmp+=add[k],cal(rs,mid+1,r);
  }
  void pushup(int k,int l,int r){
  	mn[k]=min(mn[ls],mn[rs]);
  	int mid=(l+r)>>1; 
  	tmp=0;Mn=mn[rs];
  	cal(ls,l,mid);
  	sum[k]=sum[rs]+(add[k]=tmp);
  }
  void build(int k,int l,int r){
  	if(l==r){mfy(k,l);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	build(ls,l,mid);
  	build(rs,mid+1,r);
  	pushup(k,l,r);
  }
  void update(int k,int l,int r,int x){
  	if(l==r){mfy(k,l);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x);
  	else update(rs,mid+1,r,x);
  	pushup(k,l,r);
  }
  int main(){
  	freopen("flip.in","r",stdin);
  	freopen("flip.out","w",stdout);
  	n=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i){s[i]=rd();if(i&1)ans+=s[i];}
  	build(1,2,n);
  	printf("%lld
  ",ans+sum[1]);
  	m=rd();
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		int x=rd(),y=rd();
  		if(x&1)ans-=s[x];
  		s[x]-=y;if(x&1)ans+=s[x];
  		if(x>1)update(1,2,n,x);
  		printf("%lld
  ",ans+sum[1]);
  	}
  	return 0;
  }