ISAP算法
一、为什么我们要学习
相比EK、Dinic、SAP算法，时间复杂度更低，可以轻松（不加优化，不卡常）过一些数据强力网络流题，如：
[题目传送门](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4722)
但编程复杂度相差不大，所以在NOIP、NOI、IOI比赛上更具优势，是编写网络流题目的首选
PS：不会Dinic的先去看[Dinic算法]
二、算法分析
（1）、增广路算法
求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是，每次在残量网络中任意寻找一条从s到t的路径，然后增广，直到不存在这样的路径为止。这就是一般增广路算法。
假设最大流是f那么它的运行时间为O(f⋅∣E∣)但是，这个运行时间并不好，因为它和最大流f有关。
我们发现，如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广，则运行时间可以减为 O(∣E∣2⋅∣V∣) 。这就是最短增广路算法。而 ISAP 算法则是最短增广路算法的一个改进。其实，ISAP 的意思正是「改进的最短增广路」 (Improved Shortest Augmenting Path)。
顺便说一句，上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法。
和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法。其中最高标号预流推进算法的复杂度可以达到 O(∣V∣2∣E∣−−−√)。
虽然在复杂度上比增广路方法进步很多，但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的，因此有时差距并不会很大。
（2）、允许弧优化
原图存在两种子图，一个是残量网络，一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广，允许弧保证最短路（时间界较优）。
Dinic时间复杂度之所以比较高，是因为它每次进行搜索增广路之前都要进行时间复杂度为O（N）的BFS（每次增广都重新计算dep数组）
PS：dep[MAXN]数组：每个点u到汇点t的最短距离，可以用BFS求出
ISAP对此进行优化，叫做允许弧优化。
然而，ISAP「改进」的地方之一就是，其实没有必要马上更新dep数组。这是因为，去掉一条边只可能令路径变得更长，而如果增广之前的残量网络存在另一条最短路，并且在增广后的残量网络中仍存在，那么这条路径毫无疑问是最短的。所以，ISAP的做法是继续增广，直到遇到死路，才执行回溯操作。
回溯操作的主要任务就是更新dep数组。那么怎么更新呢？非常简单：
1、假设是从节点u找遍了邻接边也没找到允许弧的；
2、再设一变量minn，令minn等于残量网络中u的所有邻接点的dep[v]的最小值，然后令d[u]等于minn+1即可。
这是因为，进入回溯环节说明残量网络中u和t已经不能通过允许弧相连，那么u和t实际上在残量网络中的最短路的长是多少呢？（这正是dep的定义！）
显然是残量网络中u的所有邻接点和t的距离加1的最小情况。特殊情况是，残量网络中u根本没有邻接点。如果是这样，只需要把d[u]设为INF（无限大，一般用2^31-1来代替），这会导致任何点到u的边被排除到残量网络以外。修改之后，只需要把正在dfs的节点u沿着刚才走的路退一步，然后继续搜索即可。
（3） GAP优化
GAP优化可以提前结束程序，很多时候提速非常明显（高达 100 倍以上）。
GAP 优化是说，当发现s,t不连通时，直接结束结束ISAP函数。
怎么发现s,t之间不连通呢，我们已经用dep[MAXN]数组求出每个点到t的最短距离，如果在回溯时发现当前点u是到t点最短距离为
dep[u]的最后一个点，即删去这个点后，整个残余网络流图中没有到t点最短距离为dep[u]的点，出现的断层，s到t的最短距离dep[s]一定是所有点中最大的中间没有了一个0<dep[u]<dep[s]的点，便导致s,t不连通。
GAP 优化的实现非常简单，用一个数组记录并在适当的时候判断、并及时跳出循环就可以了。
（4）当前弧优化
另一个优化，就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个BFS过程，因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的（残量网络中的边只会越来越少）。
解决的方法也挺简单的，使用&传地址，及时更新，详见代码
需要注意的一点是，下次应该从上次处理到的邻接边继续处理，而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。
三、算法流程
1、定义节点的标号为到汇点的最短距离;
2、每次沿允许弧进行增广；
3、找到增广路后，将路径上所有边的流量更新.
4、遍历完当前结点的可行边后更新当前结点的标号为 dep[u] = min( dp[v] && add_flow(u,v) > 0)+1，使下次再搜的时候有路可走。
5、图中不存在增广路后即退出程序，此时得到的流量值就是最大流。
代码如下：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define INF 2147483647
3 #define MAXN 20010
4 #define MAXM 400010
5 using namespace std;
6 int n,m,s,t,cnt,maxflow;
7 int head[MAXN],cur[MAXN];
8 int dep[MAXN],pre[MAXN],num[MAXN];
9 struct edge{
10 int nxt,v,w;
11 }e[MAXM];
12 void add (int u,int v,int w)
13 {
14 e[cnt].v=v;
15 e[cnt].w=w;
16 e[cnt].nxt=head[u];
17 head[u]=cnt++;
18 }
19 void auto_add (int u,int v,int w)
20 {
21 add (u,v,w);add (v,u,0);
22 }
23 void bfs (int t)
24 {
25 queue<int>q;
26 for (int i=1;i<=n;i++)
27 cur[i]=head[i];
28 for (int i=1;i<=n;i++)
29 dep[i]=n;
30 dep[t]=0;
31 q.push (t);
32 while (!q.empty())
33 {
34 int u=q.front();
35 q.pop();
36 for (int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
37 if (dep[e[i].v]==n&&e[i^1].w)
38 {
39 dep[e[i].v]=dep[u]+1;
40 q.push (e[i].v);
41 }
42 }
43 }
44 int add_flow (int s,int t)
45 {
46 int ans=INF,u=t;
47 while (u!=s)
48 {
49 ans=min (ans,e[pre[u]].w);
50 u=e[pre[u]^1].v;
51 }
52 u=t;
53 while (u!=s)
54 {
55 e[pre[u]].w-=ans;
56 e[pre[u]^1].w+=ans;
57 u=e[pre[u]^1].v;
58 }
59 return ans;
60 }
61 void ISAP (int s,int t)
62 {
63 int u=s;
64 bfs (t);
65 for (int i=1;i<=n;i++)
66 num[dep[i]]++;
67 while (dep[s]<n)
68 {
69 if (u==t)
70 maxflow+=add_flow (s,t),u=s;
71 bool flag=0;
72 for (int &i=cur[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
73 if (dep[u]==dep[e[i].v]+1&&e[i].w)
74 {
75 flag=1;
76 u=e[i].v;
77 pre[e[i].v]=i;
78 break;
79 }
80 if (!flag)
81 {
82 int minn=n-1;
83 for (int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
84 if (e[i].w)
85 minn=min (minn,dep[e[i].v]);
86 if ((--num[dep[u]])==0) break;
87 num[dep[u]=minn+1]++;
88 cur[u]=head[u];
89 if (u!=s)
90 u=e[pre[u]^1].v;
91 }
92 }
93 }
94 int main()
95 {
96 memset (head,-1,sizeof (head));
97 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
98 for (int i=1;i<=m;i++)
99 {
100 int u,v,w;
101 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
102 auto_add (u,v,w);
103 }
104 ISAP (s,t);
105 printf ("%d",maxflow);
106 return 0;
107 }