四、基本几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转、等变换后产生新的图形。
1、平移变换
平移是一种【不产生变形】而移动物体的【刚体变换】，即物体上的每个点移动相同数量的坐标。下图是点P(x,y)平移到P*（x*,y*）.
齐次坐标的计算形式为：
Tx,Ty称为【平移矢量】
2、比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x轴方向缩放Sx倍，沿y方向缩放Sy倍，其中Sx,Sy称为比例系数，可以赋予任何【正整数】，值小于1缩小物体的尺寸，值大于1则放大物体，都指定为1，物体尺寸就不会改变。
齐次坐标的计算形式为：
3、对称变换
对称变换也称为反射变换或镜像变换，变换后的图形是原图形关于一轴线或原点的镜像。
（1）关于x轴对称
齐次坐标的计算形式为：
（2）关于y轴对称
齐次坐标的计算形式为：
4、旋转变换
首先确定当基准点为坐标原点时，点位置P旋转的变换方程，应用标准三角特性，利用角度α,θ将转换后的坐标表示为：
在极坐标系中点的原始坐标为：
将x,y代入上式，就得到相对于原点将在位置(x,y)处的点旋转θ角的变换方程
二维图形绕原点【逆】时针旋转θ角的齐次坐标计算式可写为：
二维图形绕原点【顺】时针旋转θ角的齐次坐标计算式可写为：
5、错切变换
在图形学的应用中，有时需要产生弹性物体的变形处理，这就需要用到错切变换。
变换矩阵中的非对角线元素大都为零，若变换矩阵中的非对角元素不为0，则意味着x,y同时对图形的变换起作用。也就是说。变换矩阵中非对角线元素起着把图形沿x方向或y方向错切的作用。
x值或y值越小，错切量越小；x值或y值越大，错切量越大。其变换矩阵为：
（1）沿x方向错切
当b=0时，有：
四、复合变换
复合变换就是指图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的【变换矩阵相乘】。
——>任何一个复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
（1）二维复合平移
p点经过两次【连续】的平移后，其变换矩阵可写为：
（2）二维复合比例平移
p点经过两个【连续】比例变换后，其变换矩阵可写为：
——>两个连续比例变换是相乘的
（3）二维复合旋转
p点经过两个【连续】旋转变换后，其变换矩阵可写为：
——>两个连续旋转是相加的
【注意：矩阵乘法不满足交换率】
（4）坐标系之间的变换
eg:下图显示了两个笛卡尔坐标系xoy和x'o'y'，而o'点在xoy坐标系的(x0,y0)处，为了将p(xp,yp)点从xoy坐标系变换到x'o'y'坐标系如何进行计算？
可分为两步进行：
1>将x'o'y'坐标系的原点平移至xoy坐标系的原点——平移变换
2>将x'轴旋转到x轴上——旋转变换
变换矩阵表示为：
（5）相对任意参考点的二维几何变换
比例、旋转变换等均与参考点相关，变换过程如下：
a、将固定点移至坐标原点，此时进行平移变换
b、针对原点进行二维几何变换
c、进行反平移，将固定点又移回原来的位置
五、二维变换矩阵
二维空间中某点的变化可以表示成点的齐次坐标与3阶的二维变换矩阵T2d相乘，即：
六、二维几何变换的计算
（1）点的变换
（2）直线的变换
直线的变换可以通过对直线两端点进行变换，从而改变直线的位置和方向
（3）多边形的变换
多边形的变换是将变换矩阵作用到【每个顶点】的坐标位置，并按新的顶点坐标值和当前属性设置来生成新的多边形。
七、窗口视区变换
1、窗口和视区
【世界坐标系中】要显示的区域称为窗口，窗口定义显示什么。
窗口映射到【显示器（设备）上】的区域称为视区，视区定义在何处显示。
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区。
2、观察变换
（1）变焦距效果
当窗口变小时，由于【视区大小不变】，就可以放大图形对象的某一部分，从而观察到在较大的窗口时未显示出的细节。
——>类似于照相机的变焦处理
（2）整体缩放效果
当窗口大小不变而视区大小发生变化时，得到整体放缩效果，这种放缩【不改变】观察对象的内容。
若把一个固定大小的窗口在一幅大图形上移动，视区不变会产生【漫游效果】。
3、窗口到视区的变换
窗口到视区的【映射】是【基于一个等式】，即对每一个在世界坐标下的点(x,y)，产生屏幕坐标系中的一个点(sx,sy)
这个映射是“保持比例”的映射——>使得这个映射有线性形式
其中A、B、C、D是常数
首先考虑x的映射，保持比例的性质说明：
又因为
，可知：A看作放大x的部分，C看作常数
同理，y方向上保持比例性质满足：
这个映射可用于【任意点(x,y)】，不管它是否在窗口之中。
在窗口【中】的点映射到视区【中】的点，在窗口【外】的点映射到视区【外】的点。