$Luogu$ $P4745$ $[CERC2017]$ $Gambling$ $Guide$

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(Central) (Europe) (Regional) (Contest) (G) 题， (Luogu) (P4745/BZOJ5197/Gym101620G) （ (Google) (Chrome) 与原题面更配哦！）

题意

给定一张 (n) 个点， (m) 条边的无边权的无向图。有一人从 (1) 号点出发，可以随机向一个和当前直接相连的点走去，花费 (1) 的代价；也可以不动，重新随机一个点，也花费 (1) 的代价。求到达 (n) 点时的最小总花费。答案四舍五入保留 (6) 位小数。

解法

根据之前总结过的期望dp的设计方法，因为只有一个终点，且状态已知（期望花费为 (0) ），因此考虑逆推。自然地，设 (f_x) 表示点 (x) 到终点的期望花费。用 (E) 表示边集， (deg_x) 表示 (x) 点的度数，则有 (f_x=frac{ sum_limits{(x,y) in E} min { f_x,f_y } }{deg_x}+1) 。
那么，对于一个点 (x) 来说，能对它的期望产生贡献的相邻的点 (y) 必然有 (f_y<f_x) 。一开始不妨令所有的 (x) 点在计算 $ min { f_x,f_y }$ 时都为 (f_x) （下文会证明确实只会出现这种情况）。
假设这样的 (y) 点有 (cnt_x) 个，则有 (f_x=frac{ sum_limits{(x,y) in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+ frac{(deg_x-cnt_x) imes f_x}{deg_x}+1=frac{ sum_limits{(x,y) in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+(1- frac{cnt_x}{deg_x} ) imes f_x+1) 。
因此，果断求出 $ sum_limits{(x,y) in E,f_y<f_x} f_y $ ，记为 (sum_x) ，则 (f_x=frac{sum_x}{deg_x}+(1- frac{cnt_x}{deg_x} ) imes f_x+1) ，化简得 (f_x= frac{deg_x+sum_x}{cnt_x}) 。
也就是说，只要相连的 (x,y) 两点满足 (f_y<f_x) ，我们就可以利用 (f_y) 来更新 (f_x) 的值。是不是很像堆优化的 (dijkstra) 的松弛操作呢？时间复杂度与堆优化的 (dijkstra) 相同，为 (O((m+n)logn)) 。

(trick)

(1.) 利用 (f_y) 来更新 (f_x) 的值的算法正确性证明：
设更新后的 (x) 点的 (f) 值为 (f_x') ， (f_x-f_y=Delta) （显然 (Delta>0) ）。由上文推出的式子得 (f_x= frac{deg_x+sum_x}{cnt_x}) ，更新后有 (f_x'= frac{deg_x+sum_x+f_y}{cnt_x+1}) ，两者相减并化简得 (f_x-f_x'=frac{Delta}{cnt_x+1}) ，则 (f_x-f_x'=frac{f_x-f_y}{cnt_x+1}) ，即 (0<f_x-f_x'<f_x-f_y) ，也即 (f_x>f_x'>f_y) 。
因此每一次松弛操作不会使得 (f_x) 变大，也不会使得其小于 (f_y) 。证毕。

(2.) 一个非常用不经典套路：对于确定的初始状态仅有极少数（大多数时候仅有一个），其余的状态与相邻的部分（大多数时候是相邻的点）有关的dp，考虑（放到图上）以最短路的方式进行转移。

细节

(1.) 请注意堆的第一维数据类型是 (double) 。

(2.) 请注意本题是无向图，要双向建边、双向记度数。

(3.) 请特别注意标记数组的使用和判断：每个点在自己更新完所有的点后就不能再被更新（因为此时已经是能达到的最小的值了）。

代码

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//省略头文件
using namespace std;
inline int read()
{
	int ret=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0')
	{
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return ret*f;
}
int n,m,u,v,w;
int num,head[600005],deg[300005],cnt[300005];
double f[300005],sum[300005];
bool vis[300005];
priority_queue > q;
struct edge
{
	int ver,nxt;
}e[600005];
inline void adde(int u,int v)
{
	e[++num].ver=v;
	e[num].nxt=head[u];
	head[u]=num;
}
inline void dijkstra()
{
	q.push(make_pair(0,n));
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[x])
			continue;
		vis[x]=1;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		{
			int y=e[i].ver;
			if(vis[y])
				continue;
			cnt[y]++;
			sum[y]+=f[x];
			f[y]=(deg[y]+sum[y])/cnt[y];
			q.push(make_pair(-f[y],y));
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();
	m=read();
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
		u=read();
		v=read();
		adde(u,v);
		adde(v,u);
		deg[u]++;
		deg[v]++;
	}
	dijkstra();
	printf("%0.7lf
",f[1]);
	return 0;
}