[Leetcode] Median of Two Sorted Arrays

Question:

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Solution:

从median of two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        int m=A.length;
        int n=B.length;
        int k=m+n;
        if(k%2!=0){
            return findKth(A,m,B,n,k/2+1);
        }else{
            return (findKth(A,m,B,n,k/2)+findKth(A, m, B, n, k/2+1))/2;
        }
    }

    private double findKth(int[] a, int m, int[] b, int n, int k) {
        // TODO Auto-generated method stub
        //always assume that m is equal or smaller than n 
        if(m>n)
            return findKth(b, n, a, m, k);
        if(m==0)
            return b[k-1];
        if(k==1)
            return Math.min(a[0], b[0]);
        //divide k into two parts 
        int pa=Math.min(k/2, m);
        int pb=k-pa;
        if(a[pa-1]<b[pb-1]){
            int[] c=new int[m-pa];
            for(int i=pa,j=0;i<m;i++,j++){
                c[j]=a[i];
            }
            return findKth(c, m-pa, b, n, k-pa);
        }else if(a[pa-1]>b[pb-1]){
            int[] d=new int[n-pb];
            for(int i=pb,j=0;i<n;i++,j++){
                d[j]=b[i];
            }
            return findKth(a, m, d, n - pb, k - pb);
        }else{
            return a[pa-1];
        }
    }
    
}