取模运算

模运算基本概念

　　对于一个钟表来说，我们知道他从0点开始到12点结束（可以这么理解），很容易知道

　　5点+3点 = 8点

　　那么，9点+ 200点 的时候，时针再哪呢？ 答 ：

　　　　209 -12 = 197 

　　　　197 - 12 = 185

　　　　....

　　　　17 -12 = 5

　　　　这种“回调”叫做取模运算（modular arithmetic）    我们说 17 模 12 等于 5

　　　　Python中模运算符是 % 

　　　　某种程度上，我们可以说：“模” 是 “余数”

　　　　还需要记住，计算机中模运算的结果都是正数， 有方便的计算手段 ：

　　　　　　209 % 12 = 5     即数学上  209 mod 12 = 5 

>>> 209 mod 12
  File "<stdin>", line 1   
    209 mod 12
        ^
SyntaxError: invalid syntax
>>> 209 % 12   
5   
>>> -21 % 12
3
>>> -21 % 5 
4
>>>

 P.S. 多重赋值

>>> a, b = 45, 687
>>> a, b
(45, 687)
>>> a
45
>>> c, v, n, m = ['sad', 456, 'a', a]
>>> v
456
>>> v
456
>>> n
'a'
>>> c
'sad'
>>> m
45
>>> q, w, e = [555, 888] 
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: not enough values to unpack (expected 3, got 2)
>>> q, w, e = [555, 888, 999, 'dasdsd'] 
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: too many values to unpack (expected 3)
>>>

要求 ： 赋值运算符''="左右两边的项要相等

　　可以使用多重赋值来方便地交换值

>>> a, b = 45, 79
>>> a, b = b, a
>>> a, b
(79, 45)
>>>

欧几里得算法---找两个正整数的GCD

　　GCD（最大公约数 or 最大公因数）

　　因子：若b整除a，则说b是a的一个因子，用b|a 表示

• • • 若 a|1, 则a = ±1　　　　
    • 若 a|b 且 b|c 则 a|c
    • 若 a|b 且 b|a, 则 a = ± b
    • 任何不等于0的数整除0
    • 对于任意整数m, n，若有b|g, 且 b|h，则有b | (mg + nh)
    • 若有b|g，则存在g₁, 使得g可以表示为 g = b × g₁

Euclid algorithm:

　　（1）假设我们要求出整数a 和 b 的最大公因子d，因为gcd(|a|, |b|) = gcd(a, b), 我们大胆假定 a ≥ b > 0

　　（2）使用带余除法，b除a表示为：　　　　　　a = q₁b + r_{1  ;}              0 ≤ r₁ < b

　　（3）首先靠遇到 r₁ = 0 时，即 b整数了a , 余数为0， 模运算 a mod b = 0, a 和 b 的公因子不可能有

　　　　比b更大的数了，所以这时候， 最大公约数 d = gcd(a, b) = b

　　（4）另一种情况是， r₁ ≠ 0, 这时，由于存在 d|a, d|b, 那么一定有d | (a -  q₁b) 即: d|r₁， d是r₁的因子！

　　（5）考察gcd(b, r₁) = ? 我们知道了

　　　　d|b ,  d|r₁, 对于b 和 r₁的任何一个公因子c来说，有c|(q₁b + r₁) 即 c|a, c|b， 

　　　　我们说 c ≤ d， 因为 d 已经被定义为最大的的那个公因子，

　　　　所以 d = gcd(b, r₁)

特别的，如果说gcd(a,b) = 1 ，那么就说a 和 b互质

Euclid 算法python实现：

>>> def mygcd(a, b):    
...     while a != 0:
...             a, b = b % a, a 
...     return b


>>>
>>> mygcd(9, 3)     
3
>>> mygcd(409119243, 87780243) 
6837
>>>