算法复习周------“动态规划之‘最长公共子序列’”&&《计蒜课》---最长公共子串题解

问题描述： 这个问题其实很容易理解。就是给你两个序列X=｛x1,x2,x3......xm｝ Y=｛y1,y2,y3......ym｝，要求找出X和Y的一个最长的公共子序列。

例：Xi={A, B, C, B, D, A}    Yj={B, C, A, B, A}  求得 Z={B, C, B, A}

问题详解： 那么问题来了，我们如何去求解出最终的过程呢？既然是复习周，那我就开门见山，直接用DP算法去解决这个问题。

分析：该问题具有最优子结构的性质。

这里我们使用上面的那个例子：我们此时倒着进行分析

①当我们知道了最长公共子序列为Z=｛B,C,B,A｝的时候，我们知道当取Xi序列的最后一个值x6=A与Yi序列的最后一个值Y5=A，此时X6=Y5，则z4=X6=Y5，就得出来的 Z1~Z3 为 X1~X5 与 Y1~Y4 的最长公共子序列。

②再往前走，X5=D而Y4=B我们知道  x5!=Y4  所以Z1~Z3是  X1~X5 与 Y1~Y3的子序列 或者是 X1~X4 与 Y1~Y4的子序列（这里这个例子是——Z｛B，C，B｝是A｛A，B，C，B｝与B｛B，C，A，B｝的公共子序列）

也许文字不太好理解，但是我们由此可以归纳出一个递推公式：

而C[i][j]中存的是序列X1~Xi与序列Y1~Yj的最长公共子序列长度。

下面我们来看具体的寻找方法——>

　　这里我们放一道例题：

给定两个序列为X=<A, B, C, B, D, A, B>和 Y=<B, D, C, A, B, A>，求最长公共子序列？

这个时候我们需要递归来填写出数组中的数字。

①我们来画出这个二维数组。

②因为0行0列并没有实际的意义，所以我们填上0。

③之后，我们开始递归写表。此时我们要知道，行数1~7代表X的各个数字，而列为Y的数字。当i=1是代表我拿出来X数列中的A，j=1代表我拿出来Y数列中的B。然后比较发现A!=B　　所以我们判断max（C[0][1]，C[1][0]）--其实我们写算法的时候都默认从上面继承下来。发现都是0，所以C[1][1]=0。

④同样的情况一直到C[1][4]这个地方，此时我们发现X1=A，Y4=A。X1=Y4。所以我们调用C[i][j]=C[i-1][j-1]函数，从左上角继承下来。C[1][4]=C[0][3]=0+1=1。

 。。。。。最后填写完成后为：

（其实算法思想很简单，就是当前两个数相同就左上角的值+1，不相同就比较左边和上面，找大的写上去）

此时我们就要进入下一步，就是根据这个表去找到最长公共子序列。

而在上面的每一步填写表格的时候，我们需要加上一步——就是记录我当前的这个格子的值是从什么位置继承来的。（创建一个新的二维数组）  这里我们规定：

①当C[i][j]是从左上角+1得来的，我们在b[i][j]处填上1。

②当C[i][j]是从左侧继承来的，b[i][j]=3。

③当C[i][j]从上面继承来的，b[i][j]=2。

我们这里得到b[i][j]

之后我们从最右下角的位置开始，根据b中的表格得到：

这个时候我们取箭头的末端所在行——第2、3、4、6行，对应X序列中的B，C，B，A。由此得到Z序列。

算法代码：

　　因为这道题目要考上机题，所以我在这里把代码思想也放到这里，不过代码很简单这里就不详细叙述了

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int C[15][15];
int bb[15][15];
char A[10];
int LCS(char a[],char b[],int a_len,int b_len){
    for(int i =0;i<15;i++){
        C[0][i]=0;
        C[i][0]=0;
    }
    for(int h=1;h<=a_len;h++){
        for(int hh=1;hh<=b_len;hh++){
            if(a[h-1]==b[hh-1]) {
            C[h][hh]=C[h-1][hh-1]+1;
            bb[h][hh]=1;
        }
        else{
            if(C[h-1][hh]>=C[h][hh-1]) {
                C[h][hh]=C[h-1][hh];
                bb[h][hh]=2;
                
            }
            if(C[h-1][hh]<C[h][hh-1]){
                C[h][hh]=C[h][hh-1];
                bb[h][hh]=3;
            }
        }
        }
    }
}
int LCScout(int a,int b){
    if(a==0||b==0) return 0;
    else{
        if(bb[a][b]==1) {
            LCScout(a-1,b-1);
            cout<<A[a-1];
        }
        if(bb[a][b]==2){
            LCScout(a-1,b);
        }
        if(bb[a][b]==3){
            LCScout(a,b-1);
        }
    }
} 
int main(){
    
    char B[10];
    cin>>A;
    cin>>B;
    int A_len = strlen(A);
    int B_len = strlen(B);
    LCS(A,B,A_len,B_len);
    LCScout(A_len,B_len);

}

上面的代码是我自己写着玩的一些寻找最长公共序列的方法，下面我在放上计蒜课上的——《最长共公子串》

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int lcs[2000][2000];
int b[2000][2000];

int LCS(char A[],char B[],int a_len,int b_len){
    int max=0;
    for(int i=0;i<=2000;i++){
        lcs[0][i]=0;
        lcs[i][0]=0;
    }
    for(int i=1;i<=a_len;i++){
        for(int h=1;h<=b_len;h++){
            if(A[i-1]==B[h-1]) {
                lcs[i][h]=lcs[i-1][h-1]+1;
                if(lcs[i][h]>max) max=lcs[i][h];
                b[i][h]=1;
            }
            else{
                if(lcs[i-1][h]>=lcs[i][h-1]){
                    lcs[i][h]=lcs[i-1][h];
                    b[i][h]=2;
                }
                else{
                    lcs[i][h]=lcs[i][h-1];
                    b[i][h]=3;
                }
            }
        }
    } 
    return max;
}
int main(){
    char A[2001];
    char B[2001];
    cin>>A;
    cin>>B;
    int A_len = strlen(A);
    int B_len = strlen(B);

    cout<<LCS(A,B,A_len,B_len);
}

 是不是很基础~相信大家算法考试应该问题不大~加油加油！

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