洛谷 P4559: bzoj 5319: [JSOI2018]军训列队

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题意简述：

有 (n) 个学生，编号为 (i) 的学生有一个位置 (a_i)。

有 (m) 个询问，每次询问编号在 ([l,r]) 区间内的学生跑到区间 ([k,k+r-l]) 中的位置花费的距离总和的最小值。

每个学生的初始位置互不相同，最终到达的位置也必须互不相同。

题解：

不难证明，学生跑到最终的位置时，他们的相对位置不改变至少是最优解之一，这可以脑补一下。

所以我们只需要求最终相对位置不变时的答案即可。

因为学生两两位置不同，所以最终有一部分学生向右跑，有一部分学生向左跑。

向右跑的学生对答案的贡献是 (k+rk_i-1-a_i)，(rk_i) 表示他的位置在这个编号区间中的学生是第 (rk_i) 小的。

向左跑的学生对答案的贡献是 (a_i-k-rk_i+1)。

显然左边一部分学生向右跑，右边一部分学生向左跑。

考虑使用主席树处理这个问题。

对权值线段树进行可持久化，则编号区间内的学生就是两个线段树相减。

考虑递归进一个区间 ([l,r])，有 (4) 种情况。

1. 这个区间中没有学生。直接返回 (0)。

2. 这个区间中的学生全部往右跑。返回 ((sum k+rk_i-1)-(sum a_i))，左边是等差数列求和的形式，右边可以直接记。

3. 这个区间中的学生全部往左跑。返回 ((sum a_i)-(sum k+rk_i-1))。

4. 不能确定这个区间中的学生的方向，递归到子树处理。

直接在主席树上实现即可。

时间复杂度 (O(nlog n+mlog n imes ext{wys}))，因为我不会分析递归的复杂度，可能是 (O(mlog n)) 的。