题目传送门：bzoj 3328。
题意简述：
题目说的很清楚了。
题解：
首先注意到：
[mathrm{Ans}=sum_{i}inom{n}{i}F_{i}[k|i]
]
考虑矩阵 (mathbf{A}=egin{bmatrix}1&1\1&0end{bmatrix})，则 (F_i=left[A^i ight]_{1,1})。
所以有：
[mathrm{Ans}=left[sum_{i}inom{n}{i}mathbf{A}^i[k|i]
ight]_{1,1}
]
考虑形如 ([k|i]) 的式子使用单位根反演化简，有：
[egin{aligned}mathrm{Ans}&=left[sum_{i}inom{n}{i}mathbf{A}^ifrac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}left(omega_{k}^{j}
ight)^{i}
ight]_{1,1}\&=frac{1}{k}left[sum_{j=0}^{k-1}sum_{i}inom{n}{i}left(omega_{k}^{j}mathbf{A}
ight)^{i}
ight]_{1,1}end{aligned}
]
用二项式定理化简，其中 (mathbf{I}) 是单位矩阵 (egin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix})：
[egin{aligned}mathrm{Ans}&=frac{1}{k}left[sum_{j=0}^{k-1}sum_{i}inom{n}{i}left(omega_{k}^{j}mathbf{A}
ight)^{i}
ight]_{1,1}\&=frac{1}{k}left[sum_{j=0}^{k-1}left(mathbf{I}+omega_{k}^{j}mathbf{A}
ight)^n
ight]_{1,1}end{aligned}
]
最后，考虑可行性，因为 (pequiv 1pmod{k})，即 (k) 是 (varphi(p)) 的因数，求出 (p) 的原根 (g) 之后，则 (g^{frac{varphi(p)}{k}}) 即可当作模意义下的 (omega_{k})。
代码如下：
#include <cstdio>
typedef long long LL;
LL N;
int K, P, G;
inline int qPow(int b, LL e) {
int a = 1;
for (; e; e >>= 1, b = (LL)b * b % P)
if (e & 1) a = (LL)a * b % P;
return a;
}
inline void getG() {
int X = P - 1, Y = X, t = 0;
static int p[10];
for (int i = 2; i * i <= Y; ++i) {
if (Y % i) continue;
p[++t] = i;
while (Y % i == 0) Y /= i;
} if (Y > 1) p[++t] = Y;
for (int g = 2; ; ++g) {
int ok = 1;
for (int i = 1; i <= t; ++i)
if (qPow(g, X / p[i]) == 1) { ok = 0; break; }
if (ok) { G = qPow(g, X / K); break ; }
}
}
struct Mat {
int A11, A12, A21, A22;
Mat() {}
Mat(int A11, int A12, int A21, int A22) :
A11(A11), A12(A12), A21(A21), A22(A22) {}
inline friend Mat operator +(Mat A, Mat B) {
return Mat((A.A11 + B.A11) % P, (A.A12 + B.A12) % P, (A.A21 + B.A21) % P, (A.A22 + B.A22) % P);
}
inline friend Mat operator *(Mat A, Mat B) {
return Mat(
((LL)A.A11 * B.A11 + (LL)A.A12 * B.A21) % P,
((LL)A.A11 * B.A12 + (LL)A.A12 * B.A22) % P,
((LL)A.A21 * B.A11 + (LL)A.A22 * B.A21) % P,
((LL)A.A21 * B.A12 + (LL)A.A22 * B.A22) % P
);
}
inline friend Mat operator ^(Mat B, LL E) {
Mat A(1, 0, 0, 1);
for (; E; E >>= 1, B = B * B)
if (E & 1) A = A * B;
return A;
}
};
int main() {
int T; scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%lld%d%d", &N, &K, &P);
getG();
Mat I(1, 0, 0, 1), W(G, 0, 0, G), A(1, 1, 1, 0), Ans(0, 0, 0, 0);
for (int j = 0; j < K; ++j) {
Ans = Ans + ((I + A) ^ N);
A = A * W;
}
printf("%lld
", (LL)Ans.A11 * qPow(K, P - 2) % P);
}
return 0;
}