题目传送门：LOJ #3089。
题意简述：
有一个长度为 (n) 的母串，其中某些位置已固定，另一些位置可以任意填。
同时给定 (m) 个小串，第 (i) 个为 (S_i)，所有位置都已固定，它的价值为 (V_i)。
每次每个小串在母串中出现一次，便会给答案的多重集贡献一个 (V_i)。
最终的答案为多重集的几何平均数，定义空集的几何平均数为 (1)。
请你求出一个合法母串（往可以填的位置填合法字符）使得答案最大。
(1le n,sle 1501)，(1le V_ile max V=10^9)，其中 (displaystyle s=sum_{i=1}^{m}|S_i|)。
题解：
假设多重集的大小为 (c)，第 (i) 个元素为 (w_i)，则 (displaystylemathrm{Ans}=sqrt[c]{prod_{i=1}^{c}w_i})。
两边取对数，有 (displaystylelnmathrm{Ans}=frac{1}{c}sum_{i=1}^{c}ln w_i)，转化为经典的 0/1 分数规划问题。
二分答案，若等式右边大于 (mathrm{mid})，则有：
(egin{aligned}frac{1}{c}sum_{i=1}^{c}ln w_i&>mathrm{mid}\sum_{i=1}^{c}ln w_i&>ccdotmathrm{mid}\sum_{i=1}^{c}(ln w_i-mathrm{mid})&>0end{aligned})
所以，建出小串的 AC 自动机，然后二分答案后在 AC 自动机上 DP 判断不等式是否满足。
DP 时每个小串的权值设为 (ln V_i-mathrm{mid})，注意要记录最佳转移点，以输出方案。
下面是代码，复杂度 (mathcal{O}(sSigma(logmax V-logepsilon)))：
#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef double f64;
const int MN = 1505, Sig = 10;
const f64 eps = 1e-6, inf = 1e99;
int N, M;
char T[MN];
char str[MN];
int ch[MN][Sig], fail[MN], sum[MN], cnt;
f64 val[MN];
inline void Insert(char *s, f64 v) {
int now = 0;
for (; *s; ++s) {
if (!ch[now][*s & 15]) ch[now][*s & 15] = ++cnt;
now = ch[now][*s & 15];
} ++sum[now], val[now] += v;
}
int que[MN], l, r;
void BuildAC() {
fail[0] = -1;
que[l = r = 1] = 0;
while (l <= r) {
int u = que[l++];
for (int i = 0; i < Sig; ++i) {
if (ch[u][i]) {
int x = fail[u];
while (~x && !ch[x][i]) x = fail[x];
if (~x) fail[ch[u][i]] = ch[x][i];
que[++r] = ch[u][i];
}
else if (~fail[u]) ch[u][i] = ch[fail[u]][i];
}
}
for (int i = 2; i <= r; ++i)
sum[que[i]] += sum[fail[que[i]]],
val[que[i]] += val[fail[que[i]]];
}
f64 f[MN][MN];
int g[MN][MN][2];
char AT[MN];
inline f64 DP(f64 V) {
for (int j = 0; j <= cnt; ++j) val[j] -= sum[j] * V;
for (int i = 0; i <= N; ++i)
for (int j = 0; j <= cnt; ++j)
f[i][j] = -inf;
f[0][0] = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
for (int j = 0; j <= cnt; ++j) {
if (f[i][j] == -inf) continue;
if (T[i] == '.') {
for (int k = 0; k < Sig; ++k) {
int _j = ch[j][k];
if (f[i + 1][_j] < f[i][j] + val[_j])
f[i + 1][_j] = f[i][j] + val[_j],
g[i + 1][_j][0] = j,
g[i + 1][_j][1] = k;
}
}
else {
int _j = ch[j][T[i] & 15];
if (f[i + 1][_j] < f[i][j] + val[_j])
f[i + 1][_j] = f[i][j] + val[_j],
g[i + 1][_j][0] = j,
g[i + 1][_j][1] = T[i] & 15;
}
}
}
for (int j = 0; j <= cnt; ++j) val[j] += sum[j] * V;
int ans = 0;
for (int j = 1; j <= cnt; ++j)
if (f[N][j] > f[N][ans]) ans = j;
for (int i = N, j = ans; i >= 1; --i)
AT[i - 1] = g[i][j][1] | 48,
j = g[i][j][0];
return f[N][ans];
}
int main() {
scanf("%d%d", &N, &M);
scanf("%s", T);
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
f64 v;
scanf("%s%lf", str, &v);
Insert(str, log(v));
}
BuildAC();
f64 l = 0, r = log(1e9 + 5), mid, ans = 0;
while (r - l > eps) {
mid = (l + r) / 2;
if (DP(mid) > 0) ans = mid, l = mid;
else r = mid;
}
DP(ans);
printf("%s
", AT);
return 0;
}