2018牛客多校第一场 B.Symmetric Matrix

题意：

　　构造一个n*n的矩阵，使得A_i,i = 0，A_i,j = A_j,i，A_i,1+A_i,2+...+A_i,n = 2。求种类数。

题解：

　　把构造的矩阵当成邻接矩阵考虑。

　　那么所有点的度数都为2，且存在重边但不存在自环。这种情况的图为多个环，即每个点都在且仅在一个环里。

　　考虑每次加一个点来递推dp[]。假设当前是第n个点，从前n-1个点中筛出（1~n-3）个点和第n个点形成环。

　　设n-1个点中保留k个点，即筛出n-1-k个点和第n个点形成环。

　　递推方程为：f(n) = (n-1)f(n-2)+sigma(k:2->n-3)C(n-1,k)f(k)(n-1-k)!/2;

　　其中(n-1)f(n-2)为从n-1个点中筛出1个点的情况。C(n-1,k)为从n-1个点中筛出k个点的组合数（k表示保留的个数）。(n-1-k)!表示筛出的n-1-k个数与第n个数一共n-k个数构成环的种数。

　　/2是因为去掉像1 2 3 4 和 1 4 3 2这种对称的情况。但是当k=1时就不用/2所以就把k=1的情况先写出来。

　　然后就是化简递推方程。

　　C(n-1,k)f(k)(n-1-k)!/2 = f(k)(n-1)!/k!/2

　　f(n) = (n-1)f(n-2)+sigma(k:2->n-3)f(k)(n-1)!/k!/2

　　(n-1)f(n-1) = (n-1)(n-2)f(n-3)+sigma(k:2->n-4)f(k)(n-1)!/k!/2

　　减一下就变成：f(n) = (n-1)f(n-1)+(n-1)f(n-2)-(n-1)(n-2)f(n-3)/2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
typedef long long ll;
int n, m;
int dp[N];
int main() {
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        dp[1] = 0; dp[2] = 1%m; dp[3] = 1%m;
        for(int i = 4; i <= n; i++) dp[i] = ((1ll*(i-1)*dp[i-1]%m+1ll*(i-1)*dp[i-2]%m-1ll*(i-1)*(i-2)/2*dp[i-3]%m)%m+m)%m;
        printf("%d
", dp[n]);
    }
}