洛谷P1579 哥德巴赫猜想（升级版）

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题目背景

1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：任何一个大于9的奇数都可以表示成3个质数之和。质数是指除了1和本身之外没有其他约数的数，如2和11都是质数，而6不是质数，因为6除了约数1和6之外还有约数2和3。需要特别说明的是1不是质数。

这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

题目描述

现在请你编一个程序验证哥德巴赫猜想。

先给出一个奇数\(n\)，要求输出\(3\)个质数，这\(3\)个质数之和等于输入的奇数。

输入格式

仅有一行，包含一个正奇数\(n\)，其中\(9<n<20000\)

输出格式

仅有一行，输出\(3\)个质数，这\(3\)个质数之和等于输入的奇数。相邻两个质数之间用一个空格隔开，最后一个质数后面没有空格。如果表示方法不唯一，请输出第一个质数最小的方案，如果第一个质数最小的方案不唯一，请输出第一个质数最小的同时，第二个质数最小的方案。

输入输出样例

输入 #1	输出 #1
2009	3 3 2003

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PZ's solution

1.直接枚举三个数\(i,j,k\)，得到\(i,j,k\)后，判断其是否为质数即可；

2.优化枚举：\(n\)必为三个质数的和，则最坏情况为\(n=n/3+n/3+n/3\)，故我们只需要循环\([2,n/3]\)即可

当枚举出\(i,j\)时，可以直接通过计算得到\(k=n-i-j\)，减少一层循环；

2.优化判断素数：我们可将单次质数的筛选时间降低到\(O(\sqrt{x})\)，因为设\(x\)为合数，若存在两个数\(a,b\)，使得\(a*b=x\)

则最坏情况必为\(\sqrt{x} * \sqrt{x}= x\)，故\(x\)必有一个因子在\([2 ,\sqrt{x}]\)范围内;

P1579 C++.cpp

#include<cstdio>
//#include<stdio.h>
int n;
int Getprime(int x){
	for(int i=2;i*i<=x;++i)
		if(x%i==0) return 0;
	return 1;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n/3;++i)
		if(Getprime(i)==1) for(int j=i;j<=n/3;++j)
		//让j从i开始循环，可以保证 i<=j 
			if(Getprime(j)==1){
				int k=n-i-j;
				//因为必存在合法解，在i<=j的情况下
				//必有 i<=j<=k，满足题意
				if(Getprime(k)==1){
					printf("%d %d %d",i,j,k);
					return 0;
				}
			}	
}

P1579 Python.py

import math;
import sys;

def Getprime(x):
    for s in range(2,int(math.sqrt(x)+1)):
    # 因为range函数 左闭右开，故可能取不到 sqrt(x),
    # 要使用 sqrt(x)+1 方便 让循环取到 sqrt(x)。
        if x%s==0:
            return 0;
    return 1;

n=int(input());

for i in range(2,n//3):
    if Getprime(i)==1:
        for j in range(i,n//3):
            if Getprime(j)==1:
                k=n-i-j;
                if Getprime(k)==1:
                    print("%d %d %d"%(i,j,k));
                    sys.exit();