G. Yet Another Maxflow Problem
In this problem you will have to deal with a very special network.
The network consists of two parts: part $ A $ and part $ B $ .
Each part consists of n vertices; $ i $ -th vertex of part $ A $ is denoted as $ A_i $ , and $ i $ -th vertex of part $ B $ is denoted as $ B_i $ .
For each index $ i (1 ≤ i < n) $ there is a directed edge from vertex $ A_i $ to vertex $ A_{i + 1} $ ,
and from $ B_i $ to $ B_{i + 1} $ , respectively.
Capacities of these edges are given in the input.
Also there might be several directed edges going from part $ A $ to part $ B $ (but never from $ B $ to $ A $ ).
You have to calculate the maximum flow value from $ A_1 $ to $ B_n $ in this network.
Capacities of edges connecting $ A_i $ to $ A_{i + 1} $ might sometimes change,
and you also have to maintain the maximum flow value after these changes.
Apart from that, the network is fixed (there are no changes in part $ B $ ,
no changes of edges going from $ A $ to $ B $ , and no edge insertions or deletions).
Take a look at the example and the notes to understand the structure of the network better.
Input
The first line contains three integer numbers $ n, m $ and $ q (2 ≤ n, m ≤ 2·10^5, 0 ≤ q ≤ 2·10^5) $
— the number of vertices in each part, the number of edges going from $ A $ to $ B $ and the number of changes, respectively.
Then $ n - 1 $ lines follow, $ i $ -th line contains two integers $ x_i $ and $ y_i $ denoting
that the edge from $ A_i $ to $ A_{i + 1} $ has capacity $ x_i $ and the edge from $ B_i $ to $ B_{i + 1} $ has capacity $ y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ 10^9) $ .
Then $ m $ lines follow, describing the edges from $ A $ to $ B $ .
Each line contains three integers $ x, y $ and $ z $ denoting an edge from $ A_x $ to $ B_y $ with capacity $ z (1 ≤ x, y ≤ n, 1 ≤ z ≤ 10^9) $ .
There might be multiple edges from $ A_x $ to $ B_y $ .
And then $ q $ lines follow, describing a sequence of changes to the network.
$ i $ -th line contains two integers $ v_i $ and $ w_i $ , denoting that the capacity of the edge from $ A_{v_i} $ to $ A_{v_i + 1} $ is set to $ w_i (1 ≤ vi < n, 1 ≤ wi ≤ 10^9) $ .
Output
Firstly, print the maximum flow value in the original network.
Then print $ q $ integers, $ i $ -th of them must be equal to the maximum flow value after $ i $ -th change.
Examples
input
4 3 2
1 2
3 4
5 6
2 2 7
1 4 8
4 3 9
1 100
2 100
output
9
14
14
Note
This is the original network in the example:
题目翻译
-
一张图分为两部分，左右都有 $ n $ 个节点，
-
$ A_i ightarrow A_{i+1} $ 连边， $ B_i ightarrow B_{i+1} $ 连边，容量给出
-
有 $ m $ 对 $ A_i ightarrow B_j $ 有边，容量给出
-
两种操作
-
1.修改某条 $ A_i ightarrow A_{i+1} $ 的边的容量
-
2.询问从 $ A_1 $ 到 $ B_n $ 的最大流
-
$ 2 le n,m le 2 imes 10^5 $ 流量 $ le 10^9 $
感谢@yybyyb 提供的翻译
思路
-
因为最大流的流量等于最小割的容量，所以最大流不好做的时候考虑最小割。
-
一些显而易见的结论：
-
假如在 $ A $ 中，割掉 $ A_x $ 和 $ A_{x+1} $ 之间的有向边，
那么割掉 $ A_y (y>x) $ 与 $ A_{y+1} $ 之间的有向边是没有意义的。 -
假如在 $ B $ 中，割掉 $ B_X $ 和 $ B_{x+1} $ 之间的有向边，
那么割掉 $ B_y (y>x) $ 与 $ B_{y+1} $ 之间的有向边是没有意义的。 -
因此，在 $ A, B $ 中至多有一条边属于割集。
-
假设在 $ A $ 中被割掉的边是 $ (A_x, A_{x+1}) $ ，在 $ B $ 中被割掉的边是 $ (B_y, B_{y+1}) $ ，
那么任意 $ (A_u, B_v) (u ge x $ 且 $ v> y) $ 都是属于这个割集的。 -
因此，割的大小可以看作三部分：在 $ A $ 中的割集大小，在 $ B $ 中的割集大小，在 $ A, B $ 间的割集大小。
-
由于后两部分不会改变（只改 $ A $ 的边），考虑计算出它们。
-
考虑在 $ A $ 中从小到大枚举 $ A_x $ ，表示割掉 $ A_x $ 和 $ A_{x+1} $ 之间的边， $ x=n $ 表示不存在这条边。
-
那么下面要做的事情是在 $ B $ 中找到一个最优决策点 $ y $ ，使得后两部分的和最小。
-
对于每加入一条 $ A, B $ 间的边，对答案造成的影响是连续的一段，从 $ 1 $ 开始。
-
所以我们只需要写一个支持区间加，求 $ [1, n] $ 的最小值的线段树就好了。
-
合并两部分的答案。这个可以用一个可删堆或者线段树来维护。
-
时间复杂度 $ O((n+m+q)quad log_n ) $
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long long
#define N 200005
inline int read() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return x;
}
vector<pair<int,int> >e[N];
int n,m,q,a[N],b[N],c[N],sum[N<<2],lzy[N<<2];
void build(int o,int l,int r,int p[]){
lzy[o]=0;
if(l==r){
sum[o]=p[l];
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(o<<1,l,mid,p); build(o<<1|1,mid+1,r,p);
sum[o]=min(sum[o<<1],sum[o<<1|1]);
}
void pushdown(int o){
sum[o<<1]+=lzy[o];
sum[o<<1|1]+=lzy[o];
lzy[o<<1]+=lzy[o];
lzy[o<<1|1]+=lzy[o];
lzy[o]=0;
}
void updata(int o,int l,int r,int L,int R,int val){
if(L<=l&&r<=R){
sum[o]+=val;
lzy[o]+=val;
return;
}
if(lzy[o]) pushdown(o);
int mid=l+r>>1;
if(L>mid) updata(o<<1|1,mid+1,r,L,R,val);
else if(R<=mid) updata(o<<1,l,mid,L,R,val);
else {
updata(o<<1,l,mid,L,R,val);
updata(o<<1|1,mid+1,r,L,R,val);
}
sum[o]=min(sum[o<<1],sum[o<<1|1]);
}
signed main(){
n=read(); m=read(); q=read();
for(int i=1;i<n;++i){
a[i]=read(); b[i+1]=read();
}
build(1,1,n,b);
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v,w;
u=read(); v=read(); w=read();
e[u].push_back(make_pair(v,w));
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=0;j<e[i].size();++j){
int v=e[i][j].first,w=e[i][j].second;
updata(1,1,n,1,v,w);
}
c[i]=sum[1]+a[i];
}
build(1,1,n,c);
printf("%lld
",sum[1]);
while(q--){
int x,y;
x=read(); y=read();
updata(1,1,n,x,x,y-a[x]);
a[x]=y;
printf("%lld
",sum[1]);
}
return 0;
}
/*
# 42697120
When 2018-09-09 11:02:38
Who PotremZ
Problem G - Yet Another Maxflow Problem
Lang GNU C++11
Verdict Accepted
Time 467 ms
Memory 24100 KB
*/