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  • 位运算

    程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了,就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如,and运算本来是一个逻辑运算符,但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子,6的二进制是110,11的二进制是1011,那么6 and 11的结果就是2,它是二进制对应位进行逻辑运算的结果(0表示False,1表示True,空位都当0处理)。
    110
    AND 1011
    ---------------
    0010 --> 2
    有人会说,计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你,位运算到底可以干什么,有些什么经典应用,以及如何用位运算优化你的程序。
     
    下面的a和b都是整数类型,则:
    含义
      
    Pascal语言C语言Java
    按位与 a and b a & b a & b
    按位或 a or b a | b a | b
    按位异或 a xor b a ^ b a ^ b
    按位取反 not a ~a ~a
    左移 a shl b a << b a << b
    带符号右移 a shr b a >> b a >> b
    无符号右移     a>>> b

    运算说明

    编辑
    === 1. and运算 & ===
    and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数为奇数。
    相同位的两个数字都为1,则为1;若有一个不为1,则为0。
    00101
    11100
    (&;或者and)
    ----------------
    00100
    === 2. or运算 | ===
    or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。
    相同位只要一个为1即为1。
    00101
    11100
    (|或者or)
    ----------------
    11101
    === 3. xor运算 ^ ===
    异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.
    xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我的企图。
    相同位不同则为1,相同则为0。
    00101
    11100
    (^或者xor)
    ----------------
    11001
    运算结果
    x <- x # y
    y <- x @ y
    x <- x @ y
    执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
    加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。
    procedure swap(var a,b:longint);
    begin
    a:=a + b;
    b:=a - b;
    a:=a - b;
    end;
    好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程:
    procedure swap(var a,b:longint);
    begin
    a:=a xor b;
    b:=a xor b;
    a:=a xor b;
    end;
    注意:位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说,如果上述程序的“b”改成“a”的话,其结果是变量a变成零。因此,在使用快速排序时,由于涉及到一个数的自我交换,因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话,应该先判断。具体的时间损耗在此略过。
    === 4. not运算 ~ ===
    not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序(仅语言不同)均返回65435。
    var
    a:word;
    begin
    a:=100;
    a:=not a;
    writeln(a);
    end.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    #include<stdio.h>
    int main()
    {
        unsigned short a=100;
        a=~a;
        printf("%d ",a);
        return 0;
    }
    如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。
    === 5. shl运算 << ===
    a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
    通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
    定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_N等常量。
    === 6. shr运算 >> ===
    和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算,效率可以提高60%。
     

    优先级

    编辑
    C语言中位运算符之间,按优先级顺序排列为
    1
    ~
    2
    <<、>>
    3
    &
    4
    ^
    5
    |
    6
    &=、^=、|=、<<=、>>=
    下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。
    功能 | 示例 | 位运算
    ----------------------+---------------------------+--------------------
    去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1
    在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
    在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
    把最后一位变成1 | (101100->101101) | x or 1
    把最后一位变成0 | (101101->101100) | x or 1-1
    最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
    把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
    把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
    右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
    取末三位 | (1101101->101) | x and 7
    取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and(1 shl k-1)
    取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
    把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
    末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
    把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
    把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
    把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
    取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
    去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))(或 x and (-x))
    最后这一个在树状数组中会用到。
    Pascal和C中的16进制表示
    Pascal中需要在16进制数前加$符号表示,C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/PrayG/p/5869381.html
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