卢卡斯定理
用途
卢卡斯((Lucas))定理用于求当(n)、(m)较大时，(C_n^m mod;p(p为质数))的值。
描述
递归形式
对于
[n,m in mathbb{Z},p为质数
]
有
[C_n^m mod;p=C_{n;mod;p}^{m;mod;p}cdot C_{n/p}^{m/p} mod;p
]
非递归形式
对于
[n,m in mathbb{Z},p为质数\
设m=prod_{i=0}^{k}m_ip^i,n=prod_{i=0}^{k}n_ip^i
]
有
[C_n^m mod;p=prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}mod;p
]
使用方法
对于比较大的组合数，我们先利用卢卡斯定理将其拆分，拆分所得到的每个较小的组合数则可以用更简单的方法求解。对于递归形式，拆分出的(C_{n;mod;p}^{m;mod;p})还原成阶乘形式后，由于(p)为质数且除数与(p)互质，我们可以考虑运用费马小定理之类的方法求逆元进行计算。对于非递归形式，相当于把(m)、(n)均当做一个(p)进制下的数，其每一位也与(p)互质，也可以如此计算。
注意边界条件：当(m=0)时，(C_n^m=1)；当(n<m)时，(C_n^m=0)。阶乘可以进行预处理减少重复计算。
代码
//递归
int power(int b,int k)
{
int base=1;
while(k)
{
if(k&1)
base=(long long)base*b%p;
k>>=1;
b=(long long)b*b%p;
}
return base;
}
int inv(int x)
{
return power(x,p-2);
}
int C(int x,int y)
{
return (long long)factorial[x]*inv((long long)factorial[y]*factorial[x-y]%p)%p;
}
int Lucas(int x,int y)
{
if(!y)
return 1;
if(x%p<y%p)
return 0;
return C(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p)%p;
}
//非递归
int Lucas(int x,int y)
{
int result=1;
while(x&&y)
{
if(x%p<y%p)
return 0;
result=(long long)result*C(x%p,y%p)%p;
x/=p;
y/=p;
}
return result;
}