三个袋子----数论推导

题目描述

平平在公园里游玩时捡到了很多小球，而且每个球都不一样。平平找遍了全身只发现了3个一模一样的袋子。他打算把这些小球都装进袋子里（袋子可以为空）。他想知道他总共有多少种放法。
将N个不同的球放到3个相同的袋子里，求放球的方案总数M。
结果可能很大，我们仅要求输出M mod K的结果。
现在，平平已经统计出了N<=10的所有情况。见下表：

输入

两个整数N,K，N表示球的个数。

输出

输出仅包括一行，一个整数M mod K 。

样例输入

11 10000

样例输出

9525

提示

对于 40%数据,10<=N<=10,000
对于100%数据,10<=N<=1,000,000,000
对于 100%数据，K<=100,000

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

根据题目的意思进行思考，就会发现这个题和组合数学有几分关系，再看数据范围就知道肯定是快速幂
剩下的就是推式子根据上面的已经给出的数据来看可以推出a[n]=a[n-1]*3-1；找到规律之后，推出式子ans=(3^n-1+1)/2;
但是注意最后的时候还要除以2，所以取模的时候要对模数的2倍进行取模

#pragma GCC optimize("Ofast,unroll-loops,no-stack-protector,fast-math")
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
#pragma GCC optimize (2)
#pragma G++ optimize (2)
#include <bits/stdc++.h>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
#define wuyt main
typedef long long ll;
#define HEAP(...) priority_queue<__VA_ARGS__ >
#define heap(...) priority_queue<__VA_ARGS__,vector<__VA_ARGS__ >,greater<__VA_ARGS__ > >
template<class T> inline T min(T &x,const T &y){return x>y?y:x;}
template<class T> inline T max(T &x,const T &y){return x<y?y:x;}
//#define getchar()(p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
//char buf[(1 << 21) + 1], *p1 = buf, *p2 = buf;
ll read(){ll c = getchar(),Nig = 1,x = 0;while(!isdigit(c) && c!='-')c = getchar();
if(c == '-')Nig = -1,c = getchar();
while(isdigit(c))x = ((x<<1) + (x<<3)) + (c^'0'),c = getchar();
return Nig*x;}
#define read read()
const ll inf = 1e15;
const int maxn = 2e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
#define start int wuyt()
#define end return 0
ll n,ans,k,e[maxn];
ll superpow(ll a,ll b,ll c){
    ll ans=1;
    ll temp=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans*temp)%c;
        temp=(temp*temp)%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
start{
    n=read,k=read;
    printf("%lld
",(superpow(3,n-1,k<<1)+1)>>1);
    end;
}