数据结构开发(15)：递归的思想与应用

0.目录

1.递归的思想

2.递归的应用

• 2.1 单向链表的转置
• 2.2 单向排序链表的合并
• 2.3 汉诺塔问题
• 2.4 全排列问题
• 2.5 逆序打印单链表中的偶数结点
• 2.6 八皇后问题

3.小结

1.递归的思想

递归是一种数学上分而自治的思想：

• 将原问题分解为规模较小的问题进行处理
  1. 分解后的问题与原问题的类型完全相同，但规模较小
  2. 通过小规模问题的解，能够轻易求得原问题的解
• 问题的分解是有限的 ( 递归不能无限进行 )
  1. 当边界条件不满足时，分解问题 ( 递归继续进行 )
  2. 当边界条件满足时，直接求解 ( 递归结束 )

递归模型的一般表示法：

递归在程序设计中的应用：

• 递归函数
  1. 函数体中存在自我调用的函数
  2. 递归函数必须有递归出口 ( 边界条件 )
  3. 函数的无限递归将导致程序崩溃

递归思想的应用：

• 求解：Sum( n ) = 1 + 2 + 3 + ... + n

递归求和：

unsigned int sum(unsigned int n)
{
    if( n > 1 )
    {
        return n + sum(n-1);
    }
    else
    {
        return 1;
    }
}

斐波拉契数列：
数列自身递归定义：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

斐波拉契数列：

unsigned int fac(unsigned int n)
{
    if( n > 2 )
    {
        return fac(n-1) + fac(n-2);
    }
    
    if( (n == 2) || (n == 1) )
    {
        return 1;
    }
    
    return 0;
}

用递归的方法编写函数求字符串长度：

用递归的方法编写函数求字符串长度：

unsigned int _strlen_(const char* s)
{
    if( *s != '' )
    {
        return 1 + _strlen_(s+1);
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}

或

unsigned int _strlen_(const char* s)
{
    return s ? (*s ? (1 + _strlen_(s+1)) : 0) : 0;
}

2.递归的应用

2.1 单向链表的转置

预备的单链表：

#include <iostream>

using namespace std;

struct Node
{
    int value;
    Node* next;
};

Node* create_list(int v, int len)
{
    Node* ret = NULL;
    Node* slider = NULL;

    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        Node* n = new Node();

        n->value = v++;
        n->next = NULL;

        if( slider == NULL )
        {
            slider = n;
            ret = n;
        }
        else
        {
            slider->next = n;
            slider = n;
        }
    }

    return ret;
}

void destroy_list(Node* list)
{
    while( list )
    {
        Node* del = list;

        list = list->next;

        delete del;
    }
}

void print_list(Node* list)
{
    while( list )
    {
        cout << list->value << "->";

        list = list->next;
    }

    cout << "NULL" << endl;
}

int main()
{
    Node* list = create_list(1, 5);

    print_list(list);

    destroy_list(list);

    return 0;
}

运行结果为：

1->2->3->4->5->NULL

单向链表的转置：

Node* reverse(Node* list)
{
    if( (list == NULL) || (list->next == NULL) )
    {
        return list;
    }
    else
    {
        Node* guard = list->next;
        Node* ret = reverse(list->next);

        guard->next = list;

        list->next = NULL;

        return ret;
    }
}

int main()
{
    Node* list = create_list(1, 5);

    print_list(list);

    list = reverse(list);

    print_list(list);

    destroy_list(list);

    return 0;
}

运行结果为：

1->2->3->4->5->NULL
5->4->3->2->1->NULL

2.2 单向排序链表的合并

单向排序链表的合并：

Node* merge(Node* list1, Node* list2)
{
    if( list1 == NULL )
    {
        return list2;
    }
    else if( list2 == NULL )
    {
        return list1;
    }
    else if( list1->value < list2->value )
    {
        Node* list_1 = list1->next;
        Node* list = merge(list_1, list2);

        list1->next = list;

        return list1;
    }
    else
    {
        Node* list_2 = list2->next;
        Node* list = merge(list1, list_2);

        list2->next = list;

        return list2;
    }
}

int main()
{
    Node* list1 = create_list(1, 5);
    Node* list2 = create_list(2, 6);

    print_list(list1);
    print_list(list2);

    Node* list = merge(list1, list2);

    print_list(list);

    destroy_list(list);

    return 0;
}

运行结果为：

1->2->3->4->5->NULL
2->3->4->5->6->7->NULL
1->2->2->3->3->4->4->5->5->6->7->NULL

代码优化：

Node* merge(Node* list1, Node* list2)
{
    if( list1 == NULL )
    {
        return list2;
    }
    else if( list2 == NULL )
    {
        return list1;
    }
    else if( list1->value < list2->value )
    {
        return (list1->next = merge(list1->next, list2), list1);
    }
    else
    {
        return (list2->next = merge(list1, list2->next), list2);
    }
}

2.3 汉诺塔问题

汉诺塔问题：

• 将木块借助 B 柱由 A 柱移动到 C 柱
• 每次只能移动一个木块
• 只能出现小木块在大木块之上

汉诺塔问题分解：

• 将 n-1 个木块借助 C 柱由 A 柱移动到 B 柱
• 将最底层的唯一木块直接移动到 C 柱
• 将 n-1 个木块借助 A 柱由 B 柱移动到 C 柱

汉诺塔问题：

void HanoiTower(int n, char a, char b, char c) // a ==> src, b ==> middle, c ==> dest
{
    if( n == 1 )
    {
        cout << a << "-->" << c << endl;
    }
    else
    {
        HanoiTower(n-1, a, c, b);
        HanoiTower(1, a, b, c);
        HanoiTower(n-1, b, a, c);
    }
}

int main()
{
    HanoiTower(3, 'a' ,'b', 'c');

    return 0;
}

运行结果为：

a-->c
a-->b
c-->b
a-->c
b-->a
b-->c
a-->c

2.4 全排列问题

全排列问题：

void permutation(char* s, char* e) // e始终指向字符数组的首元素
{
    if( *s == '' )
    {
        cout << e << endl;
    }
    else
    {
        int len = strlen(s);

        for(int i=0; i<len; i++)
        {
            swap(s[0], s[i]);
            permutation(s+1, e);
            swap(s[0], s[i]);
        }
    }
}

int main()
{
    char s[] = "abc";

    permutation(s, s);

    return 0;
}

运行结果为：

abc
acb
bac
bca
cba
cab

但是如果存在相同的元素，则会有重复结果，例如：

int main()
{
    char s[] = "aac";

    permutation(s, s);

    return 0;
}

运行结果为：

aac
aca
aac
aca
caa
caa

代码优化：

void permutation(char* s, char* e) // e始终指向字符数组的首元素
{
    if( *s == '' )
    {
        cout << e << endl;
    }
    else
    {
        int len = strlen(s);
        char mark[256] = {0};

        for(int i=0; i<len; i++)
        {
            if( !mark[s[i]] )
            {
                swap(s[0], s[i]);
                permutation(s+1, e);
                swap(s[0], s[i]);
                mark[s[i]] = 1;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    char s[] = "aac";

    permutation(s, s);

    return 0;
}

运行结果为：

aac
aca
caa

2.5 逆序打印单链表中的偶数结点

递归还能用于需要回溯穷举的场合。。。

函数调用过程回顾：

• 程序运行后有一个特殊的内存区供函数调用使用
  1. 用于保存函数中的实参，局部变量，临时变量，等
  2. 从起始地址开始往一个方向增长 ( 如 : 高地址 → 低地址 )
  3. 有一个专用“指针”标识当前已使用内存的“顶部”

程序中的栈区：一段特殊的专用内存区

实例分析：逆序打印单链表中的偶数结点

逆序打印单链表中的偶数结点：

void r_print_even(Node* list)
{
    if( list != NULL )
    {
        r_print_even(list->next);

        if( (list->value % 2) == 0 )
        {
            cout << list->value << endl;
        }
    }
}

int main()
{
    Node* list = create_list(2, 5);

    print_list(list);

    r_print_even(list);

    destroy_list(list);

    return 0;
}

运行结果为：

2->3->4->5->6->NULL
6
4
2

2.6 八皇后问题

八皇后问题：

• 在一个8x8的国际象棋棋盘上，有8个皇后，每个皇后占一格；要求皇后间不会出现相互“攻击”的现象 ( 不能有两个皇后处在同一行、同一列或同一对角线上 )。

关键数据结构定义：

• 棋盘：二维数组 ( 10 * 10 )
  1. 0 表示位置为空，1 表示皇后，2 表示边界
• 位置：struct Pos;
  
• 方向：
  

算法思路：

八皇后问题：

#include <iostream>
#include "LinkList.h"

using namespace std;
using namespace StLib;

template <int SIZE>
class QueueSolution : public Object
{
protected:
    enum { N = SIZE + 2 };

    struct Pos : public Object
    {
        Pos(int px = 0, int py = 0) : x(px), y(py) { }
        int x;
        int y;
    };

    int m_chessboard[N][N];
    Pos m_direction[3];
    LinkList<Pos> m_solution;
    int m_count;

    void init()
    {
        m_count = 0;

        for(int i=0; i<N; i+=(N-1))
        {
            for(int j=0; j<N; j++)
            {
                m_chessboard[i][j] = 2;
                m_chessboard[j][i] = 2;
            }
        }

        for(int i=1; i<=SIZE; i++)
        {
            for(int j=1; j<=SIZE; j++)
            {
                m_chessboard[i][j] = 0;
            }
        }

        m_direction[0].x = -1;
        m_direction[0].y = -1;
        m_direction[1].x = 0;
        m_direction[1].y = -1;
        m_direction[2].x = 1;
        m_direction[2].y = -1;
    }

    void print()
    {
        for(m_solution.move(0); !m_solution.end(); m_solution.next())
        {
            cout << "(" << m_solution.current().x << ", " << m_solution.current().y << ") ";
        }

        cout << endl;

        for(int i=0; i<N; i++)
        {
            for(int j=0; j<N; j++)
            {
                switch (m_chessboard[i][j])
                {
                    case 0: cout << " "; break;
                    case 1: cout << "#"; break;
                    case 2: cout << "*"; break;
                }
            }

            cout << endl;
        }

        cout << endl;
    }

    bool check(int x, int y, int d)
    {
        bool flag = true;

        do
        {
            x += m_direction[d].x;
            y += m_direction[d].y;
            flag = flag & (m_chessboard[x][y] == 0);
        }
        while( flag );

        return (m_chessboard[x][y] == 2);
    }

    void run(int j) // 检查第j行有没有可以放置皇后的位置
    {
        if( j <= SIZE )
        {
            for(int i=1; i<=SIZE; i++)
            {
                if( check(i ,j, 0) && check(i ,j, 1) && check(i ,j, 2) )
                {
                    m_chessboard[i][j] = 1;

                    m_solution.insert(Pos(i, j));

                    run(j + 1);

                    m_chessboard[i][j] = 0;

                    m_solution.remove(m_solution.length() - 1);
                }
            }
        }
        else
        {
            m_count++;

            print();
        }
    }
public:
    QueueSolution()
    {
        init();
    }

    void run()
    {
        run(1);

        cout << "Total: " << m_count << endl;
    }
};

int main()
{
    QueueSolution<4> qs;

    qs.run();

    return 0;
}

测试四皇后问题的运行结果为：

(2, 1) (4, 2) (1, 3) (3, 4) 
******
*  # *
*#   *
*   #*
* #  *
******

(3, 1) (1, 2) (4, 3) (2, 4) 
******
* #  *
*   #*
*#   *
*  # *
******

Total: 2

（八皇后问题一共有92个解。）

3.小结

• 递归是一种将问题分而自治的思想
• 用递归解决问题首先要建立递归的模型
• 递归解法必须要有边界条件，否则无解
• 不要陷入递归函数的执行细节，学会通过代码描述递归问题
• 程序运行后的栈存储区专供函数调用使用
• 栈存储区用于保存实参，局部变量，临时变量，等
• 利用栈存储区能够方便的实现回溯算法
• 八皇后问题是栈回溯的经典应用