RSA的整体逻辑就是将一个数在经过一次运算后能变回原数，这个运算就是求幂然后取模，将这个运算拆成两个部分，其中一部分作为公钥给用户，另一部分作为私钥储存在服务器，用户用公钥运算后发送给服务器，然后服务器再用私钥运算，最终能得到还原后的数据，这就是RSA的算法流程
算法原理解释
所有涉及的知识（均只写出需要使用的部分）
互质关系
中国剩余定理
欧拉φ函数 费马-欧拉定理（数论）
模反元素
扩展欧几里得算法
蒙哥马利算法
互质关系
涉及的结论 1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61 2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10 3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57 4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99 5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
中国剩余定理
取两个质数n、m，则对于任意正整数x < n * m，均有唯一的（a，b）数对使得a = x mod n、b = x mod m
例：
取n = 3，m = 5，则n * m = 15
x a b
14 2 4
13 1 3
12 0 2
11 2 1
10 1 0
9 0 4
8 2 3
7 1 2
6 0 1
5 2 0
4 1 4
3 0 3
2 2 2
1 1 1
其中a有n - 1个不为0的值，b有m - 1个不为0的值，x有(n - 1)(m - 1)个不为0的值
欧拉φ函数
对正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目
因为需要将比n小且不互质的整数去除掉，则根据容斥定理，可以得到
即φ函数公式为：
当n=p*q，其中p和q均为质数时，乘积性质证明：
方法一：
①
证毕
方法二：
根据中国剩余定理，x与（a，b）数对一一对应，则：
当a、b均不为0时，（a，b）所对应的x与n * m互质，因为n、m均为质数，则φ（n）= n - 1，φ（m）= m - 1
根据排列组合，（a，b）数对的数量为φ（n）*φ（m），也等于φ（n * m）的数量，即φ（n * m）=φ（n）* φ（m）
证毕
例：
与中国剩余定理中的红色行数一致，并且通过剩余定理，可以有另一种思路推出φ函数公式，参考文末链接
欧拉定理
若a与n互质，则
②
证明：
设大整数m的欧拉函数为φ(m)，表示比m小的正整数中与m互质的数的个数，将此类数记为
同时设
定理一
p之间两两模m不同余
证明
若存在两个数pi和pj模m同余，则
将p = ax代入，得
因为a与m互质，则xi-xj必然是m的倍数，然而xi-xj小于m，且不等于0，矛盾
因此，pi和pj模m不同余，证毕
定理二
任意p模m的结果都与m互质
证明
根据扩展欧几里得算法，得
证毕
因为任意p模m的结果都与m互质，且p直接两两模m不同余，则p与x存在双射关系，即一一对应
于是将所有p的乘积模m可得
因为任意x都与n互质，则
证毕
模反元素
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1，即
③
证明：
因为a与n互质，则由②得
即一定存在b，使得a与b为模反元素
扩展欧几里得算法
在③中，RSA算法一般将质数a取为65537，二进制表示为10000000000000001，因为绝大部分位置是0，因此简化了加密时的运算量
在1024位加密下，质数p和q随机取为512位二进制数，使得n为1024位，然后根据a和n，求得a的模反元素b
但是在实际计算过程中，如此大的幂运算，是几乎不可能直接计算出来的，因此使用了扩展欧几里得算法来计算
欧几里得算法就是熟知的辗转相除法
从上图中可看出，通过辗转相除，最后在b等于0时能得到最大公约数gcd，此处记为q，在扩展欧几里得算法中，使用了递归的计算，可以在得到gcd的同时得到使等式ax+by=gcd(a,b)成立的x和y，因此数据出现的顺序是如蓝色箭头所示
直接看最后一行的数据，当b=0时计算结束，a*1+b*0=q，即ax+by=q，得到gcd，此时的a和b为上一层的b和a mod b
将最后一行的等式带入倒数第二行，可得bx+(a mod b)y=q，如果使用取整来表示模运算，并整理等式，可得
对于第二行，根据ax+by=q的公式，x与y将因此更新为
通过整个递归算法，最终可以得到使第一行即原式成立的x和y，以及gcd，如果递归层数较多，也可以改用迭代计算
蒙哥马利算法
对于任意的整数a、b、q、r、n，我们可以构造
则可得
即
则得到模运算的乘法分配律
利用乘法分配律可以轻松得到某些幂的模
观察规律，则可以直接写出所有幂为2^n的数对n的模，下面展示两个，后面的以此类推
而其他的幂则可以通过上述结果累加得到，假设幂为19，则
将19拆分后利用乘法分配律可以得到以下结果
将拆分后的数从大到小逐个提出，然后利用分配律拆开，整理后可以得到最后一行的形式，每增加一个数x，则乘以(a^x mod n)，然后将乘积mod n，而所有(a^x mod n)都可以用上述规律得到，从小到大计算则可以一次得到结果
RSA算法
下面展示1024位加密算法的步骤
第一步：
随机取两个512位二进制长度的质数p和q，表示成十进制，以便后续运算，其中取随机数可以参考Rabin-Miller方法
第二步：
计算p和q的乘积n，然后由①可得φ(n)=(p-1)(q-1)
第三步：
根据③，将a、b分别记为e、d，意为encode和decode，其中e常设为65537，也可使用其他质数，然后根据扩展欧几里得算法求得d
第四步：
将e和n封装为公钥，d和n封装为私钥，将公钥发送给用户，然后将私钥保存在服务器端
第五步：
加解密的算法都是相同的，为大数幂的模运算，使用蒙哥马利算法计算，文本内容需要全部转换为十进制，可以存为ascii码或者unicode码，
同时，要保证每一段的字符串长度小于n的长度，以1024位加密为例，n的十进制长度为154，以ascii码为例，左侧补零保证所有字符为3位，
则最多可以放下51个字符，然后分段加密和解密，加密时以分段后的原文为底，e为幂，对n取模，解密时以分段后的密文为底，d为幂，对n取模
使用方法：
用户使用公钥加密后传输给服务器，服务器使用储存的私钥解密即完成整个RSA加密流程
可行性证明
假设已经得到e、d、n，设m为原文，c为密文，则可通过第一行得到c，然后需要证明第二行，即c能通过变化回到m
证明：
将c带入二式，得
⑤
由③可得
即
将上式带入⑤，得
如果m与n互质，则
证毕
如果m与n不互质，因为n是p和q的乘积，则m必然等于kp或者kq，以m = kp为例，因为k < q且q是质数，所以k与q互质，则
变形上式可得
因为左边是p的倍数，右边必然是p的倍数，因为p和q互质，所以t必然是p的倍数，记t=t'p，带回原式，得
证毕
算法实践
在链接中有python实现的rsa算法，也有使用该算法的IoT软硬件，可以自行尝试，如果遇到任何问题，欢迎建议与留言！
https://github.com/Pyrokine/usb_power_meter/blob/master/FIRMWARE/python/myRSA.py
感谢
算法导论 null RSA算法原理（一） http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现（我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html
25行代码实现完整的rsa算法（python3.x版本）
https://blog.csdn.net/bian_h_f612701198412/article/details/87202462
扩展欧几里得算法详解
https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81750874
模运算的分配律如何证明？
https://www.zhihu.com/question/41361614
费马小定理、欧拉定理与扩展欧拉定理（含证明）
https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/80693756
浅谈欧拉定理的证明
https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html