lougu P4180 【模板】严格次小生成树[BJWC2010]

严格次小生成树 ：边权和大于最小生成树
非严格次小生成树 ：边权和大于等于最小生成树
-----------严格次小生成树----------
-时间复杂度O(mlog(mn))

首先求最小生成树，O(mlogm)
那么次小生成树就是将最小生成树上的一条边换掉

-正确性
      每换掉一条边，边权和肯定变大
      如果存在改变两条边的最小生成树是严格次小生成树的话，那么只改一条边时边权和肯定小于 改变两条边
      所以选择换掉的边是使边权和增加最小的边

每次换掉一条边时
被换掉的边与即将换上的边构成一个环，我们要从这个环上删去一条边，被删去的边在 即将换上的边 的两个节点树上路径里
被换掉的边一定是可以被换掉的边中边权最大的

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct ll{int x,y,len,vis;} s[300020];
int head[100005],nxt[200005],to[200005],val[300005],cnt;//val数组开2*10^5+5就会RE的玄学问题 
int n,m,f[100005][25],maxv[100005][25],max2[100005][25],dep[100005],fa[100005];
void add(int x,int y,int v)
{
    cnt++;
    nxt[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    to[cnt]=y;
    val[cnt]=v;
}
bool cmp(ll a,ll b){return a.len<b.len;}
long long ans;
int getfa(int x){return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=getfa(fa[x]));}
void dfs(int x,int fa)//建树 
{
    f[x][0]=fa;
    for(int i=head[x]; i; i=nxt[i])
    {
        if(to[i]==fa) continue;
        dep[to[i]]=dep[x]+1;
        maxv[to[i]][0]=val[i]; 
        max2[to[i]][0]=-2e9;//防止自环
        dfs(to[i],x);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=24; i>=0; i--) if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=24; i>=0; i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    return f[x][0];
}
int qiumax(int x,int y,int vall)
{
    int maxx=-2e9;
    for(int i=24;i>=0&&x!=y;i--)
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
        {
            if(maxv[x][i]!=vall) maxx=max(maxx,maxv[x][i]);
            else maxx=max(maxx,max2[x][i]);
            x=f[x][i];
        }
    }
    return maxx;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&s[i].x,&s[i].y,&s[i].len);
        s[i].vis=0;
        fa[s[i].x]=s[i].x;
        fa[s[i].y]=s[i].y;
    }
    int k=0;
    sort(s+1,s+m+1,cmp);
    for(int i=1; i<=m; i++)//求最小生成树 
    {
        int fax=getfa(s[i].x),fay=getfa(s[i].y);
        if(fax!=fay)
        {
            ans+=(long long)s[i].len;
            fa[fax]=fay;
            s[i].vis=1;
            k++;
            add(s[i].x,s[i].y,s[i].len);
            add(s[i].y,s[i].x,s[i].len);
            if(k==n-1) break;
        }
    }
    dep[1]=1;
    f[1][0]=-2e9;
    dfs(1,-1);
    for(int i=1; i<=24; i++)     //LCA预处理 
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            //从j向上走2^i步过程中最长边与次长边一定从maxv[j][i-1],maxv[f[j][i-1]][i-1]与 max2[j][i-1],max2[f[j][i-1]][i-1]中诞生 
            f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
            maxv[j][i]=max(maxv[j][i-1],maxv[f[j][i-1]][i-1]);  //从j向上走2^i步过程中最长边 
            max2[j][i]=max(max2[j][i-1],max2[f[j][i-1]][i-1]);  //次长边 
            if(maxv[j][i-1]>maxv[f[j][i-1]][i-1]) max2[j][i]=max(max2[j][i],maxv[f[j][i-1]][i-1]);
            else if(maxv[j][i-1]<maxv[f[j][i-1]][i-1]) max2[j][i]=max(maxv[j][i-1],max2[j][i]);
            
        }
    long long sum=2e16;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        if(!s[i].vis)
        {
            int lcca=lca(s[i].x,s[i].y);
            int mxx1=qiumax(s[i].x,lcca,s[i].len); 
            int mxx2=qiumax(s[i].y,lcca,s[i].len);
            sum=min(sum,ans+(long long)s[i].len-(long long)max(mxx1,mxx2));
        }
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}