最大公约数(gcd)与最小公倍数(lcm)

最大公约数定义:若d是自然数a，b的约数，则称d为a，b的公约数。在所有公约数最大的数字则称其为a，b的最大公约数，记为gcd(a,b)。
最小公倍数定义:若m是自然数a，b的倍数，则称d为a，b的公倍数。在所有公倍数最小的数字则称其为a，b的最小公倍数，记为lcm(a,b)。

最大公约数求法

• 枚举法。时间复杂度O（min(a,b)）。其实可以用短除法优化（觉得实现后应该会有一定优化吧）。
• 欧几里得算法
  欧几里得算法指出$forall a,b in N,b eq 0 ,gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) $
  证明:
  若 a < b ,则gcd(b,a mod b)=gcd(b,a)=gcd(a,b) 显然成立
  $ quad $ 若(a ge b) ，设a=q*b+r,(0 le r <b) ，所以r=a mod b,对于a，b的任意公约数d，都有(d | a,d|q*b),所以(d|(a-q*b),所以d|r)。
  证毕

所以d也是b和r的公约数，反之亦然。故a，b的公约数集合也是b和a mod b的公约数集合。

递归形式
inline int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b) :a;
}

迭代形式(C++库里自带的gcd就是这个，以前忘记怎么写经常copy这个)
inline int gcd(int a, int b) {
	int r;
	while(b) {
		r = a % b;
		a = b;
		b = r;
	}
	return a;
}

位运算优化法（Get from the Internet，I have not tested it，maybe Boom！）
int gcd(int a, int b) {
	while(b ^= a ^= b ^= a %= b);
	return a;
}

时间复杂度O（log(a+b)),当a，b是斐波拉契数时会达到上界。但是高精度取模比较慢，更适合用下一个方法：更相损减术。

• 更相减损术
  看看下面两个式子

[ a ge b, 有gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b) \ ]

我们可以这样证明:对于a,b的任意公约数d，都有(d|a,d|b),所以(d|(a-b))。所以d也是b和(a-b)的公约数，d也是a和（a-b)的公约数。
模板

迭代形式
inline int gcd(int a,int b){
	while(a!=b){
		if(a>b) a-=b;
		else b-=a
	}
	return a;
}
递归形式（不推荐。。如果a，b相差过大，会导致堆栈溢出。。如果你扩栈了当我没说)
inline int gcd(int a,int b){
    if(a==b)return a;
    else if(a>b)a-=b;
    else b-=a;
    return gcd(a,b);
}

但是这样的时间复杂度为O（n),在高精度运算中不可接受。我们可以利用gcd的另外一些性质进行优化

[1.若a为奇数，b为偶数，则gcd(a,b)=gcd(a,b/2)。 \ 2.若a为偶数，b为奇数，则gcd(a,b)=gcd(a/2,b)。\ 因为偶数一定存在2这个因子，而奇数一定不会有2这个因子，因此2一定不是公因子，可以除去 \ 3.若a,b都是偶数，则gcd(a,b)=2gcd(a/2,b/2)。 \ ]

证明
若d是a，b的公因子，则d | a,d|b。 而根据扩展欧几里得知识，可以知道 存在ax+by=gcd(a,b)所以d|(ax+by)，所以d|gcd(a,b)。所以a,b的所有公因子都是gcd(a,b)的因子 所以可以利用性质3来求gcd
通过以上性质,我们可以将更相损减术的复杂度优化至为(O(log_2 n))
证毕
关于这个的板子，有个板子题，是scoi2009 的supergcd，可以在我博客搜索一下

与欧几里得算法主要差别是一个是除法，一个是减法。前者用除法优化了后者的减法罢了。。减法容易退化O（n),但是本质并无差别

• stein算法，有兴趣的可以看看，感觉用处不大还麻烦。。

最小公倍数求法

定理

[forall a,b, in N,gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b; ]

证明：
设d为gcd(a,b),(a_0=a/d,b_0=b/d) ,显然(gcd(a_0,b_0)=1,所以a_0 与b_0 互质) ，而lcm(a,b)=(a_0 *b_0)
(所以lcm(a,b)=lcm(a_0*d,b_0*d)=lcm(a_0,b_0)*d=a_0*b_0*d=a*b/d)
证毕
有了这条定理就可以先求出gcd再求出lcm了。
性质

• 若gcd(a,b)=1,那么a，b两数互质。

• gcd(a,2a)=a;

• gcd(a,0)=a;

• gcd(a,b)=gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(-a,-b);

• gcd(n,n+1)=1;//这个可以证明素数的个数是无穷的

• 区间gcd种类最多(log_2 n)种，因为从gcd(l,l+1）开始向r推，gcd是单调不严格递减的，每次减少，最少/2（每次少一个因子，这个因子最小是2）
  //这些貌似无关紧要，了解下就行