乘法逆元

由于模意义下的除法运算不具有封闭性，所以我们得找一种办法将除法转换成其他的运算，下面就介绍了在模意义下取代除法运算的一种方法--乘法逆元。

定义:若整数b，m互质，并且b|a，则存在一个整数x使得$ frac{a}{b} equiv a*x (mod m) $ ,称x为b的模m的乘法逆元，记为$b^{-1}(mod m) $，也可以记为inv（b)。（倒数）

因为 $$ a/b equiv a*b^{-1} equiv a/b *b *b^{-1} (mod m ) $$

所以 $ b^{-1}*b equiv 1 (mod m) $

若m为质数且b<m，根据费马小定理$ b^{m-1} equiv 1 (mod m) $,所以 $b*b^{m-2} equiv 1 (mod m) $
所以当模数为质数的时候， (b^{m-2}) 为b模m的乘法逆元。

如果只是保证b，m互质，那么可以通过求解同余方程 (b*x equiv 1 (mod m)) 得到b的模m的乘法逆元x,可以用扩展欧几里得算法解。
因为

[b*x equiv 1 (mod m) ]

所以

[b*x -1 equiv 0 (mod m) \ b*x-1是m的倍数，不妨设为-y倍 \ 则有 \ b*x-1=-y*m \ b*x+y*m=1 \ 若b，m互质.则gcd(b,m)=1 ]

通过求解上面的方程，可以求得一组x，y。x则为b模m的逆元
下面是模板

费马小定理求逆元
inline lxl Quick_Pow(lxl a, lxl b,lxl mod) {
	lxl res(1 % mod);
        a%=mod;//保险起见
	for(; b; b >>= 1) {
		if(b & 1)
			res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
	}
	return res % mod;
}

inline lxl Fermat_inv(lxl a,lxl mod){
	return Quick_Pow(a,mod-2,mod);
} 

扩展欧几里得求逆元
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
	return d;
}

int exgcd_inv(int a){
	int d,x,y;
	d=exgcd(a,mod,x,y);
	return (x%mod+mod)%mod;
}

有了乘法逆元，我们遇到a/b的式子后，可以先a，b各自对模数取模，在计算 $ a*b^{-1} mod m $作为答案（前提是b，p互质或p是质数）

若是要求1_{n每个数关于模p的逆元，这时候一个个求就显得比较慢了，下面介绍一种求1}n每个数模p的逆元的线性求法
首先 ，(1^{-1} equiv 1 (mod p))
然后我们设(p=k*i+r, 0le r <i, 1<i<p)
所以 (k*i+r equiv 0 (mod p))
然后两边同乘 (i^{-1},r^{-1}) 得到

[k*r^{-1}*i^{-1} equiv 0 (mod p) \ i^{-1} equiv -k*r^{-1} (mod p) \ i^{-1} equiv - lfloor frac{p}{i} floor *(p \% i)^{-1} (mod p) ]

inv[1]=1;
rep(i,2,n){
	inv[i]=(mod-[mod/i])*inv[mod%i]%mod;
}//前面加了mod是为了防止逆元变成负数，而且这样常数也比较小

求特定几个组合数的时候，我们需要求出一些连续的阶乘的逆元，我们也可以做到近线性求法

[因为 frac{1}{n!} = frac {1} {(n+1)!} imes (n+1) ]

所以我们可以得到以下做法

fac[0] = 1;//规定0!=1
rep(i, 1, n) {
	fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
}
inv_fac[MAX] = Fermat_inv(fac[n], mod );
drp(i, n - 1, 0) {
	inv_fac[i] = inv_fac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

小技巧
求$ frac{a}{b} (mod p ) $ 如果 p * b 不会爆掉，可以写成 $$ frac{ a mod (b imes q) } {b} (mod p) $$
适用于任何情况下。没有逆元可以这样用

多项式求逆元