问题 A: [HNOI2011]卡农
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题目描述
共有2^n-1种片段组合方式。设数字i出现次数ai,选i个片段是合法总方案数为fi。
这里我们先按不同排列方式为不同情况。
那么对于A（2^n-1,i-1）就是i个位置上有i-1个位置上放上了片段，有两种情况，
1，这i-1个片段已满足要求，不合法。
2，这i-1个片段不满足要求，那么有唯一一个片段使之合法。
但是考虑放i-2个片段时是满足的，加了任意一个其他片段后是i-1个，之后又加了一个相同的片段使之满足，那他就重复了，不合法。所以要把这两种情况去掉。
第一种减去fi-1，第二种减fi-2*(i-1)*(2^n-1-(i-2))。
那我解释一下，对于每种放i-2个时的满足情况，可以放剩余2^n-1-(i-2)个片段中的任一个，并且有i-1个位置可以放。那现在再结合上面的看。
最后除以m!（因为不同排列算一个）
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 100000007
#define N 1000005
using namespace std;
ll n,m,A[N],f[N],xp=1,ans=1;
inline ll cheng(ll x,ll n)
{
ll s=1;x%=mod;
while(n)
{
if(n&1)s=s*x%mod;
x=x*x%mod;
n/=2;
}
return s;
}
int main()
{
// freopen("canon.in","r",stdin);
// freopen("canon.out","w",stdout);
cin>>n>>m;A[0]=1;f[0]=1;
xp=cheng(2ll,n);xp--;if(xp<0)xp+=mod;
for(int i=1;i<=m;i++)A[i]=A[i-1]*(xp-i+1)%mod;
for(int i=3;i<=m;i++)f[i]=(A[i-1]-f[i-1])%mod-(f[i-2]*(xp-i+2)%mod*(i-1))%mod,f[i]%=mod;
for(int i=2;i<=m;i++)ans=(ans*i)%mod;
ans=cheng(ans,mod-2);//求逆元
ans=(ans*f[m]%mod+mod)%mod;
cout<<ans;
}