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题意：求(sum_{i=1}^{n}gcd(i,n))
首先可以肯定，(gcd(i,n)|n)。
所以设(t(x))表示(gcd(i,n)=x)的(i)的个数。
那么答案很显然就是(sum_{d|n}t(d)*d)。
那么(t(x))怎么求呢。
[t(x)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=x]
]
因为若(gcd(x,y)=1),则有(gcd(xk,yk)=k)。
所以
[t(x)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=x]=sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{x}
floor}[gcd(i,lfloorfrac{n}{x}
floor)=1]=phi(lfloorfrac{n}{x}
floor)
]
所以最终答案就是(sum_{d|n}[phi(lfloorfrac{n}{d} floor)*d])
我们可以在(O(sqrt n))的时间复杂度内求出(n)的所有约数，约数个数是(log n)级别的，求(phi)是(O(sqrt n))的时间复杂度，所以总时间复杂度(O(log nsqrt n))
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll phi(ll x){
int s = sqrt(x); ll ans = x;
for(int i = 2; i <= s && x != 1; ++i)
if(!(x % i)){
ans = ans / i * (i - 1);
while(!(x % i))
x /= i;
}
if(x != 1) ans = ans / x * (x - 1);
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld", &n);
int i; ll ans = 0;
for(i = 1; (ll)i * i < n; ++i)
if(!(n % i))
ans += phi(n / i) * i + (n / i) * phi(i);
if(i * i == n) ans += phi(i) * i;
printf("%lld
", ans);
return 0;
}