P4590-[TJOI2018]游园会【dp套dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4590

---

题目大意

给出一个长度为(m)的字符串(s)。
对于每个(kin[0,m])求有多少个长度为(n)的字符串满足与(s)的最长公共子序列长度为(k)且不包含(NOI)这一个子串。
可用字符集是({N,O,I})

---

解题思路

显然这个(NOI)的限制是很无聊的，先不管。

然后就是求最长公共子序列恰好为(k)，之前翻资料的时候看到过这题，然后(m)又只有(15)，所以可以直接(dp)套(dp)。

先考虑正常(dp)求最长公共子序列，就是设(g_{i,j})表示第一个串匹配到(i)，第二个串匹配到(j)时的长度。那么显然对于一个(i)来说是可以对应多个(j)的。
然后我们要在转移(dp)的自动机上对于(i)维护每个(g_{i,j})？

虽然(m)很小但是这个状态还是很多，要加点优化。挖掘一下(g)数组的性质发现其实有(g_{i,j-1}leq g_{i,j}leq g_{i,j-1}+1)。所以可以状压一下，用(1)表示这里加了(1)，(0)表示没有加一就可以表示出所有的状态了。

然后先预处理出每个状态加某个字符之后会转移到哪个状态(nxt_{s,c})，然后设(f_{i,s})表示现在已经有(i)个字符，(dp)数组状态为(j)时的方案数，然后转移就好了。

之后(NOI)那个限制多开一维来维护就好了，要滚动不然会炸。

时间复杂度(O(2^mn))，然后因为要判(NOI)所以常数比较大。

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100,M=16,P=1e9+7;
const int d[3][3]={{1,0,0},{1,2,0},{1,0,3}};
int n,m,f[3][1<<M][3] ,ans[M];
int a[M],g[1<<M],h[1<<M],nxt[1<<M][3];
char s[M];
int ct(int x){
    int ans=0;
    while(x)x-=(x&-x),ans++;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(s[i]=='O')a[i]=1;
        if(s[i]=='I')a[i]=2;
    }
    int MS=(1<<m);
    for(int s=0;s<MS;s++){
        for(int i=1;i<=m;i++)
            g[i]=g[i-1]+((s>>i-1)&1);
        for(int c=0;c<3;c++){
            for(int i=1;i<=m;i++){
                h[i]=max(h[i-1],g[i]);
                if(a[i]==c)h[i]=max(h[i],g[i-1]+1);
                if(h[i]>h[i-1])nxt[s][c]|=(1<<i-1);
            }
        }
    }
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));
        for(int s=0;s<MS;s++){
            for(int t=0;t<3;t++){
                for(int c=0;c<3;c++){
                    if(t==2&&c==2)continue;
                    int z=d[t][c];
                    (f[i&1][nxt[s][c]][z]+=f[~i&1][s][t])%=P;
                }
            }
        }
    }
    for(int s=0;s<MS;s++)
        for(int t=0;t<3;t++)
            (ans[ct(s)]+=f[n&1][s][t])%=P;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}