正题
题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1355
题目大意
定义(f_i)表示斐波那契的第(i)项，给出一个大小为(n)的集合(S)求(lcm(f_S))
解题思路
如果每个质数的次数分开考虑，那么(gcd)就是次数取(min)，(lcm)就是次数取(max)，所以可以套用(min-max)容斥的式子
[lcm(S)=prod_{Tsubseteq S}gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}
]
然后因为(gcd(f_x,f_y)=f_{gcd(x,y)})，那么这题的答案
[lcm(f_S)=prod_{Tsubseteq S}f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}
]
这个好像算起来很麻烦，我们可以分开考虑每个(gcd)的贡献。
定义(f_n=prod_{d|n}g_d)
[lcm(f_S)=prod_{Tsubseteq S}left(prod_{d|gcd(T)}g_d
ight)^{(-1)^{|T|}+1}
]
[lcm(f_S)=prod g_d^{sum_{Tsubseteq S}[d|gcd(T)](-1)^{|T|+1}}
]
然后就是(sum_{Tsubseteq S}[d|gcd(T)](-1)^{|T|+1})，因为没有了空集，这个东西其实就相当于([exists a_iin S,d|a_i])。然后就可以直接枚举每个(d)来求答案了。
[lcm(f_S)=prod_{exists a_iin S,d|a_i} g_d
]
考虑(g)怎么构造，我们有(f_n=prod_{d|n}g_d)，直接移项就是(g_n=f_n-prod_{d|n,d eq n}g_d)就好了。
时间复杂度(O(nlog n))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,g[N],ans;
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);g[1]=ans=1;
for(ll i=1;i<=n;i++){
ll x;scanf("%lld",&x);
m=max(m,x);v[x]=1;
}
for(ll i=2;i<=m;i++)g[i]=(g[i-1]+g[i-2])%P;
for(ll i=1;i<=m;i++){
ll inv=power(g[i],P-2);
for(ll j=2*i;j<=m;j+=i)
g[j]=g[j]*inv%P;
}
for(ll i=1;i<=m;i++){
bool flag=0;
for(ll j=i;j<=m;j+=i)
if(v[j]){flag=1;break;}
if(flag)ans=(ans*g[i])%P;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}