P4859-已经没有什么好害怕的了【容斥,dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859

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题目大意

两个长度为(n)的序列(a,b)两两匹配，求(a_i>b_i)的组数比(a_i<b_i)的组数多(k)的方案数。
保证输入数字两两不同

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解题思路

其实就是求恰好有(frac{n+k}{2})种(a_i>b_i)的匹配方案。

先设(f_{i,j})表示到(a)的第(i)个，已经选择了(j)组的方案。转移起来比较麻烦，我们不知道(b)中选了哪些。

把(a)和(b)排序后，设(l_i)表示一个最大的数字使得(a_i>b_{l_i})，然后就可以(dp)了

[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1} imes(l_i-j+1) ]

之后发现我们很难固定其他配对的大小，可以考虑容斥，设(g_i)表示至少有(i)对满足(a_i>b_i)的方案，那么有(g_i=f_i imes (n-i)!)。
然后就可以直接容斥了，因为(g_i)中有(inom{i}{k})中方案选出(k)个配对满足，所以容斥系数就是((-1)^{i-k}inom{i}{k})
答案就是

[sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}inom{i}{k}g_i ]

时间复杂度(O(n^2))

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+9;
ll n,k,C[N][N],a[N],b[N],f[N][N],g[N],l[N],ans;
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    if((n+k)&1)return puts("0")&0;
    k=(n+k)/2;C[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
    sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);
    for(ll i=1;i<=n;i++)   
        for(ll j=1;j<=n;j++)
            if(b[j]<a[i])l[i]=j;
            else break;
    f[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=n;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+(j?f[i-1][j-1]*max(l[i]-j+1,0ll)%P:0))%P;
    for(ll i=n,s=1;i>=0;i--,s=s*(n-i)%P)g[i]=f[n][i]*s%P;
    for(ll i=k;i<=n;i++){
        ll tmp=g[i]*C[i][k]%P;
        (ans+=((i-k)&1)?P-tmp:tmp)%=P;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}