AT4995[AGC034E] Complete Compress【树形dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4995

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题目大意

\(n\)个点的一棵树，上面有一些棋子，每次可以选择两个棋子移动到他们之间的路径上相邻的点上，求最少多少步能移动到一个点上。

\(n\in[1,2000]\)

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解题思路

如果固定最终节点的话，这个节点\(rt\)可行的话那么答案一定是\(\frac{\sum dis(rt,x)}{2}\)。

那么现在就转变为一个判定性问题，我们现在的操作变为了每次选择两个没有祖先关系的点，然后将它们往它们的\(LCA\)处移动一格。

同样的，我们发现如果我们在处理一个点\(x\)作为\(LCA\)时，我只会关心所有节点来自它的哪个儿子而不用考虑具体的位置。所以可以搞树形\(dp\)。

设\(f_x\)表示\(x\)的子树内最多的移动次数，定义\(s_x=\sum_{y\in subtree(x)}dis(x,y)\)的话，那么我们的转移和\(max\{s_y\}(x->y)\)有关。

若\(max\{s_y\}\times 2\leq s_x\)，那么这里面的节点可以两两配对，\(f_x=\frac{s_x}{2}\)。

否则他\(s\)最大的子树\(y\)之中会有剩余的节点无法相互匹配，那么有$$f_x=s_x-s_y+min{f_y,s_y-\lfloor\frac{s_x}{2}\rfloor}$$

然后如果\(f_x=\frac{s_x}{2}\)那么\(x\)就是可行的答案

时间复杂度\(O(n^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2100;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],s[N],w[N],f[N],ans;
char v[N];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dp(int x,int fa){
	s[x]=w[x]=0;
	int mx=0,son=0;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dp(y,x);w[x]+=w[y];
		s[x]+=s[y]+w[y];
		if(s[y]+w[y]>mx)
			mx=s[y]+w[y],son=y;
	}
	if(mx*2>s[x])
		f[x]=s[x]-mx+min(f[son],mx-s[x]/2);
	else f[x]=s[x]/2;
	w[x]+=(v[x]=='1');
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",v+1);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	ans=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp(i,i);
		if(s[i]&1)continue;
		if(f[i]==s[i]/2)
			ans=min(ans,f[i]);
	}
	if(ans==1e9)puts("-1");
	else printf("%d\n",ans);
	return 0;
}